Составление плана факторного эксперимента

План эксперимента - это совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов.

План эксперимента полностью определяется с помощью матрицы плана, представляющей собой прямоугольную таблицу, строки которой соответствуют опытам, а столбцы - факторам.

Поскольку полином степени б/для к факторов содержит С?k+d коэффициентов, то количество экспериментальных точек должно быть не меньше, чем число подлежащих определению коэффициентов, т. е. N> С1 k+d-

Множество всех точек проведения экспериментов xu = и, х хки),

и= 1,2, ...,Nобразуют матрицу плана:

Здесь xiu - значение г-го фактора (/ = 1, 2, ..., к) в опыте с номером и (и= 1,2, ...,АО.

План ПФЭ может быть изображен в виде таблицы, столбцы которой отражают уровни факторов, а строки - номера опытов.

Каждая вектор-строка матрицы плана определяет значения всех к факторов в одном опыте эксперимента. С другой стороны - это координаты точки факторного пространства. Таким образом, каждому опыту соответствует определенная точка факторного пространства.

Матрица плана может содержать одинаковые строки, что соответствует повторению измерения отклика в одних и тех же точках. Опыты, проводящиеся в одной и той же точке факторного пространства, называются параллельными опытами.

В полном факторном эксперименте 2Адолжны быть реализованы все сочетания к факторов на двух уровнях (+1 и -1). Для формирования матрицы планирования можно воспользоваться простым правилом, когда чередование знаков «+» и «-» в каждом последующем вектор-столбце осуществляется через один знак, через два, четыре, восемь и т. д. по степеням двойки знаков.

Табличная форма записи полного факторного эксперимента 22 в кодированном масштабе представлена в табл. 6.1.

Таблица 6.1

План-матрица ПФЭ 22

Номер опыта

XI

х2

У

1

-1

-1

У

2

+ 1

-1

У2

3

-1

+1

Уз

4

+1

+1

_Уа._

Матрица илана-матрица оптимального плана со строками, означающими индивидуальные обработки, которые могут быть расширены выведенными уровнями других функций от уровней факторов, но зависят от постулированной модели.

В кодированных переменных геометрической интерпретацией ПФЭ 22 является квадрат в факторной плоскости (рис. 6.1, а), условия проведения опытов в матрице планирования соответствуют вершинам квадрата, центром которого является основной уровень.

Геометрической интерпретацией ПФЭ для трех факторов на двух уровнях является куб (рис. 6.1, б), в вершинах которого располагаются точки. Соответствующая рис. 6.1, б матрица планирования приведена в табл. 6.2.

При числе факторов больше трех фигура, задающая в многомерном пространстве область эксперимента, будет представлять собой гиперкуб.

Планы полного факторного эксперимента наряду с линейными эффектами позволяют оценить и влияние взаимодействия факторов. Так, для плана 22 уравнение содержит четыре коэффициента, в том числе коэффициент bi2, отражающий взаимное влияние двух факторов:

Для плана ПФЭ 23 в уравнении содержится восемь членов:

Влияние факторов на выходной параметр может зависеть от уровня, на котором находится другой фактор, или от сочетания уровней нескольких факторов.

Для удобства дальнейших расчетов можно построить развернутую (расширенную) матрицу планирования, учитывающую не только уровни факторов, но и их взаимодействия. Пример развернутой матрицы планирования для полного факторного плана 23 дан в табл. 6.3. Знаки в столбцах для взаимодействий получают перемножением знаков соответствующих факторов.

Геометрическое отображение планов в факторном пространстве

Рис. 6.1. Геометрическое отображение планов в факторном пространстве: а - ПФЭ 22; б - ПФЭ 23

Таблица 6.2

План-матрица ПФЭ 23

Номер опыта

XI

Х2

Хз

У

1

-1

-1

-1

У

2

+1

-1

-1

У2

3

-1

+ 1

-1

Уз

4

+1

+ 1

-1

У4

5

-1

-1

+1

У5

6

+1

-1

+1

Уб

7

-1

+ 1

+1

У7

8

+1

+ 1

+1

_?8_

Столбцы xi, Х2, и хз (выделены жирным шрифтом) образуют план эксперимента. Фиктивный фактор х0, для которого все значения равны +1, вводят для удобства машинного расчета свободного члена Ь0 (для идентичности формул). Остальные столбцы, в том числе вспомогательный хо, носят вспомогательный характер и могут быть использованы для упрощения расчетов.

Таблица 6.3

Развернутая матрица планирования для ПФЭ типа 23

Номер опыта

Х2

*3

«2

*1*3

х2х3

Х1Х2ХЗ

У

1

+1

-1

-1

-1

+ 1

+1

+1

-1

У

2

+1

+1

-1

-1

-1

-1

+1

+1

У2

3

+1

-1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

Уз

4

+1

+1

+1

-1

+ 1

-1

-1

-1

У4

5

+1

-1

-1

+1

+ 1

-1

-1

+1

У5

6

+1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

-1

Уб

7

+1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

-1

У7

8

+1

+1

+1

+1

+ 1

+1

+1

+1

У*

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >