Полная версия

Главная arrow Логика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Математическое планирование эксперимента

Математическое планирование дает наибольший эффект в тех многофакторных экспериментах, в которых ведется поиск оптимальных решений. Математический аппарат теории планирования эксперимента включает теорию вероятностей, математическую статистику и математическое программирование. Мощным импульсом теории и практики планирования эксперимента являются успехи вычислительной техники и появление автоматизированных систем обработки результатов эксперимента.

Объекты исследования должны обладать двумя обязательными качествами: позволять при тщательно отработанной методике испытаний получать воспроизводимые результаты и быть управляемыми.

Эксперимент называется воспроизводимым, если разброс результатов опыта контролируется и не превышает заранее заданного значения. Объект является управляемым, если на нем возможен активный эксперимент. Различают пассивный и активный эксперимент. Если экспериментатор не может влиять на ход эксперимента, находится в роли пассивного наблюдателя, то речь идет о пассивном эксперименте (наблюдении). Если эксперимент подчинен воле экспериментатора, может проводиться по заданной программе, то имеет место активный эксперимент. Планировать можно только активный эксперимент.

Все переменные, определяющие состояние объекта, разделяют на четыре основные группы. Это три группы способов воздействия на объект исследования: 1) контролируемые и управляемые переменные, значения которых экспериментатор может варьировать в процессе эксперимента; 2) контролируемые, но неуправляемые переменные; 3) неконтролируемые и неуправляемые переменные. К отдельной группе переменных относят переменные выхода, которые характеризуют поведение или свойства объекта в процессе эксплуатации.

Неконтролируемые и неуправляемые переменные отражают влияние случайных эффектов, которые являются причиной возникновения шумового поля и непредсказуемого дрейфа изучаемых характеристик объекта.

Контролируемые переменные называются факторами. Фактор - измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение. Факторы соответствуют способам воздействия на объект исследования.

Каждый фактор может принимать в опыте одно из нескольких значений. Такие значения называются уровнями. Фактор способен принимать бесконечно много значений (непрерывный ряд), однако на практике точность, с которой устанавливается некоторое значение, не беспредельна. Поэтому можно считать, что всякий фактор имеет определенное число дискретных уровней.

Каждый фактор имеет область определения. Фактор считается заданным, если вместе с его названием указана область его определения.

Под областью определения понимается совокупность всех значений, которые в принципе может принимать данный фактор. Совокупность значений фактора, которая используется в эксперименте, является подмножеством из множества значений, образующих область определения. В практических задачах области определения факторов, как правило, ограничены. Ограничения могут носить принципиальный либо технический характер.

Факторы разделяются на количественные и качественные. Качественные факторы - это разные вещества, разные технологические способы, аппараты, исполнители и т. д. Количественные - это те, которые можно оценивать количественно: измерять, взвешивать, титровать и т. п.

Чтобы точно определить фактор, нужно указать последовательность действий (операций), с помощью которых устанавливаются его конкретные значения (уровни). Такое определение фактора называется операциональным. Так, если фактором является давление в некотором аппарате, то совершенно необходимо указать, в какой точке и с помощью какого прибора оно измеряется и как оно устанавливается. Введение операционального определения обеспечивает однозначное понимание фактора.

Точность замера факторов должна быть возможно более высокой. Степень точности определяется диапазоном изменения факторов. При изучении процесса, который длится десятки часов, нет необходимости учитывать доли минуты, а в быстрых процессах необходимо учитывать, быть может, доли секунды.

Факторы должны быть непосредственными воздействиями на объект. Факторы должны быть однозначны. Трудно управлять фактором, который является функцией других факторов. Но в планировании могут участвовать сложные факторы, такие как соотношения между компонентами, их логарифмы и т. п.

К факторам предъявляются требования дискретности, совместимости и некоррелированности. Дискретность позволяет поддерживать значение фактора на заданном уровне или же осуществлять переход на другой уровень воздействий. Совместимость означает, что в эксперименте имеется возможность задавать такие сочетания факторов, которые не искажают исследуемый процесс. Выполнение требования некоррелированности позволяет в эксперименте значения каждого из факторов изменять независимо друг от друга. В общем случае, если между факторами наблюдается нелинейная связь, они являются некоррелированными.

При выборе области эксперимента должны учитываться ограничения границы областей определения факторов:

  • • принципиальные ограничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Например, если фактор - температура, то нижним пределом будет абсолютный нуль;
  • • ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями, например, со стоимостью сырья, дефицитностью отдельных компонентов, временем ведения процесса;
  • • ограничения конкретными условиями проведения процесса, например, существующей аппаратурой, технологией, организацией. В реакторе, изготовленном из некоторого материала, температуру нельзя поднять выше температуры плавления этого материала или выше рабочей температуры данного катализатора.

Выходные показатели называют откликом объекта исследования на воздействие факторов, зависимость отклика от факторов - функцией отклика, а ее геометрическую интерпретацию - поверхностью отклика.

Математическая модель объекта исследования - это система уравнений или неравенств, которая отражает содержание, структуру и количественные связи, характеризующие объект исследования. В теории планирования эксперимента наибольшее распространение получили полиномиальные регрессионные модели.

Поиск плана эксперимента производится в так называемом факторном пространстве.

Как правило, план эксперимента строится относительно одного (основного) выходного скалярного параметра У, который называется наблюдаемой переменной. Если моделирование используется как инструмент принятия решения, то в роли наблюдаемой переменной выступает показатель эффективности.

Существует два основных варианта постановки задачи планирования эксперимента:

Из всех допустимых выбрать такой план, который позволил бы получить наиболее достоверное значение функции отклика fix) при фиксированном числе опытов.

Выбрать такой допустимый план, при котором статистическая оценка функции отклика может быть получена с заданной точностью при минимальном числе испытаний.

Решение задачи планирования в первой постановке называется стратегическим планированием эксперимента, во второй - тактическим планированием.

Стратегическое планирование позволяет ответить на вопрос, при каком сочетании уровней внешних и внутренних факторов может быть получена наиболее полная и достоверная информация. При стратегическом планировании эксперимента должны быть решены две основные задачи:

идентификация факторов;

выбор уровней факторов.

Под идентификацией факторов понимается их ранжирование по степени влияния на значение наблюдаемой переменной (показателя эффективности).

По итогам идентификации целесообразно разделить все факторы на две группы: первичные и вторичные. Первичные - это те факторы, в исследовании влияния которых экспериментатор заинтересован непосредственно. Вторичные - факторы, которые не являются предметом исследования, но влиянием которых нельзя пренебречь.

Выбор уровней факторов производится с учетом двух противоречивых требований:

  • • уровни фактора должны перекрывать (заполнять) весь возможный диапазон его изменения;
  • • общее количество уровней по всем факторам не должно приводить к чрезмерному объему моделирования.

Отыскание компромиссного решения, удовлетворяющего этим требованиям, и является задачей стратегического планирования эксперимента.

Способы построения стратегического плана. Эксперимент, в котором реализуются всевозможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ/

Если число уровней для всех факторов одинаково, то общее число различных комбинаций N = рк (р- число уровней).

Недостаток ПФЭ - большие затраты времени на подготовку и проведение эксперимента. Например, если в модели отражены 3 фактора, влияющие на значение выбранного показателя эффективности, каждый из которых имеет 4 возможных уровня (значения), то план проведения ПФЭ будет включать 64 эксперимента (N = 43). Поэтому применение ПФЭ целесообразно только в том случае, если в ходе эксперимента исследуется взаимное влияние всех факторов, фигурирующих в модели.

К тактическому планированию экспериментов относят совокупность методов установления необходимого числа испытаний.

Поскольку точность оценок наблюдаемой переменной характеризуется ее дисперсией, то основу тактического планирования эксперимента составляют методы понижения дисперсии.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>