Теоретические основы сбора и обработки статистической информации о работоспособности техники

При обработке исходных данных о надежности технических изделий они часто представлены в виде выборок сравнительно небольшого объема, полученных в разное время при меняющихся условиях испытаний или эксплуатации или относящихся к различным изделиям одного наименования (типа) и т. п. Анализ однородности исходного статистического материала проводится с целью установления возможности объединить различные выборки в одну общую выборку для дальнейшей обработки.

Выборки считаются однородными, если функции распределения генеральных совокупностей, из которых они извлечены, совпадают во всей области их определения. Анализ однородности осуществляется путем проверки сформулированных соответствующим образом гипотез.

Методы анализа однородности исходного статистического материала выбирают на основании: предположения о виде распределения; количества выборок т; объемов выборок пь п2,..., пт значений наработок или времен восстановления, составляющих каждую выборку (табл. 5).

Таблица 5. Объем исходного статистического материала

Номер выборки

Значения наработки или времени восстановления

1

*11» *12> •••> *2л,

2

*21> *22> •••> х2п2

т

хтЬ хт2’ •••> хтпт

Перед анализом однородности статистического материала рекомендуется провести на основе соображений технического характера и с помощью статистических методов отсев единичных резко выделяющихся наблюдений в выборке.

Следует исключать из дальнейшей обработки наблюдения, для которых имело место явное нарушение нормальных условий проведения испытаний или эксплуатации. Если не имеется подобных оснований, то отсев можно производить с помощью специальных методов.

При использовании статистических методов для отсева резко выделяющихся наблюдений следует руководствоваться следующими правилами:

  • • не следует проводить отсев при распределениях, отличающихся от нормального, за исключением логарифмически-нормально- го, в последнем случае следует оперировать с натуральными логарифмами чисел, входящих в выборку;
  • • не следует пользоваться специальными методами, когда число «подозреваемых» наблюдений больше двух, и проводить отсев нескольких выделяющихся наблюдений поочередно, по одному;
  • • при выборках достаточно большого объема (например, 35 наблюдений и более) отсев единичных резко выделяющихся наблюдений можно не проводить, поскольку они не оказывают заметного влияния на величину выборочных среднего и дисперсии.

При выборе методов анализа однородности исходного статистического материала следует руководствоваться данными, приведенными в табл. 6.

Таблица 6. Выбор методов анализа однородности исходного статистического материала

Вид распределения

Методы

для количества выборок

двух

более двух

Нормальное

Критерии Фишера и Стыо- дента (критерии Шсффе и Ван дер Вардена)

Дисперсионный анализ

Логарифмически- нормальное, гамма, Вейбулла

Критерии Вилкоксона и Смирнова (критерии Шсффс и Стьюдента)

Дисперсионный анализ

Экспоненциальное

Критерий сравнения параметров двух экспоненциальных генеральных совокупностей (критерии Вилкоксона и Смирнова)

Критерий сравнения параметров нескольких экспоненциальных совокупностей

Неизвестно

Критерии Вилкоксона и Смирнова

Дисперсионный анализ

Методы, применяемые в каждом случае, делятся на основные и дополнительные. Дополнительными методами пользуются для дублирования проверок, осуществляемых с помощью основных методов (в табл. 6 они заключены в скобки).

Если не имеется сведений о виде распределения, то рекомендуется провести предварительную проверку согласия (отдельно для каждой выборки) с каждым из пяти теоретических распределений.

Такая проверка может быть выполнена с применением критерия согласия со2. В последнем случае необходимо сначала вычислить оценки параметров распределений по каждой выборке. Полезным также является построение общей гистограммы для всех наблюдений и проверки согласия.

Дисперсионный анализ используют для исследования однородности нескольких выборок. Объемы выборок должны быть не менее четырех наблюдений. При использовании критерия Шеффе объем хотя бы одной выборки должен быть не менее шести. Упоминаемые методы формально распространяются на случай нормального распределения. Однако они устойчивы по отношению к отклонениям от нормального распределения.

При проверке однородности методами дисперсионного анализа решают задачи проверки гипотез о равенстве средних (сравнение средних) и дисперсий (сравнение дисперсий). В рамках применения дисперсионного анализа выборки считают однородными, если равны средние и дисперсии генеральных совокупностей, из которых эти выборки извлечены.

Если обе гипотезы принимаются, то выборки объединяют для дальнейшей обработки; если хотя бы одна отвергается, то решают также задачу выявления выборок, вносящих неоднородность.

Необходимо отметить, что вначале всегда проверяют гипотезу о равенстве дисперсий, после этого гипотезу о равенстве средних проверяют для тех выборок, для которых принята гипотеза оравенстве дисперсий.

Проверку гипотезы о равенстве средних проводят в следующем порядке: вычисляют сумму квадратов отклонений от среднего между выборками

где

и внутри выборок

где Ху — у-е значение в /-й выборке; X/ — среднее в /-й выборке; л, — объем /-й выборки; т — число выборок.

Вычисляют значение статистики:

где

Статистика F подчиняется распределению F с кх = п - т и к2 = п - - т степенями свободы; вычисляют значение функции распределения P(F) статистики F; для вынесения решения о проверяемой гипотезе выбирают уровень значимости а.

ОС ОС ос

Если — < P(F) - то гипотеза принимается; если P(F) < —

или P(F) > 1 - у, то гипотеза отвергается.

Проверку гипотезы о равенстве дисперсий проводят в следующем порядке: исходные данные подвергают преобразованию. Для этого каждую выборку объемом более 5 наблюдений разбивают с помощью датчика псевдослучайных чисел на две подвыборки объемом не менее 3 наблюдений каждая.

Пусть каждая выборка разбита на Nt подвыборок (TV, = 1 или 2) объемом Пу наблюдений каждая. Для каждой подвыборки вычисляют выборочную дисперсию sj. Вычисляют логарифмы:

К выборке у у можно применить метод сравнения средних, если у у рассматривать как Хц, i = 1, т; j = 1 или j = 1, 2. При этом

Вычисляют статистику F по формуле

Если проверяемая гипотеза верна, то статистика F подчиняется распределению Fckl = n- mnk2 = m- l степенями свободы. Решение о проверяемой гипотезе выносят так же, как при сравнении средних.

Для выявления выборок, вносящих неоднородность, исходные данные получаются в процессе вычислений для сравнения средних и дисперсий.

В случае, когда выявление выборок, вносящих неоднородность, проводят после сравнения средних, исходными данными являются: х{, х2, ..., хт средние по каждой выборке; т — число выборок;

я, — объем /-й выборки (/' = 1, 2,т)SSе величина, вычисленная по формуле (19); а также номера выборок, относительно которых имеется предположение о том, что они вносят неоднородность.

Эти номера выбирают следующим образом. Строят вариационный ряд средних выборочных. Если одно или два крайних (наибольших или наименьших) значения резко отличаются по величине от остальных, то указывают их номера.

Если не представляется возможным отметить визуально такие резко выделяющиеся выборки, то с помощью дополнительных объективных признаков необходимо разделить всю совокупность средних на две совокупности, одна из которых содержит «подозрительные» выборки, а вторая — выборки, которые предполагаются однородными.

Пусть /j, i2,..., /’/ — номера выявленных выборок, aj,j2, — номера невыявленных выборок (/ + t = т).

Выборки, вносящие неоднородность, выявляют в следующем порядке. Вначале вычисляют коэффициенты:

а затем вычисляют

Величина ф представляет собой случайную величину, дисперсия которой оценивается по формуле:

Проверяемая гипотеза заключается в том, что средние тех генеральных совокупностей, из которых извлечены выявленные выборки, равны средним тех генеральных совокупностей, из которых извлечены невыявленные выборки.

Если проверяемая гипотеза верна, то математическое ожидание величины ф равно нулю и

имеет распределение F с к} = т - 1 и к2 = п - т степенями свободы

f т

#i = ?#i, . Затем вычисляют интеграл Снедекора P(F). Для вынесе-

V /=1 >

ния решения о проверяемой гипотезе выбирают уровень значимости ОС ОС ос

ос. Если — < P(F) < 1 - —, то гипотеза принимается; если P(F) < — или

ОС

P(F) > 1 - —, то гипотеза отвергается.

В случае, когда выявление выборок, вносящих неоднородность, производится после сравнения дисперсий, используют вышеприведенную схему; при этом вместо величин х{, х2, ..., хт используют величины у,, вычисляемые по формуле (28), вместо пТ — величины Пу, представляющие собой объемы подвыборок, вместо величины m — суммарное число подвыборок. Величину SS е вычисляют по формуле (25).

При использовании критерия сравнения параметров нескольких экспоненциальных распределений число выборок должно быть не менее трех, объем каждой выборки — не менее четырех наблюдений.

Выборки считаются однородными, если принимается нулевая гипотеза = А,2 = ... = Хт. Однородность проверяют в следующем порядке.

Вычисляют

Если нулевая гипотеза верна, то распределение р = P{nh i = 1, 2, - п), т. е. вероятность того, что объемы выборок прини-

мают определенные значения при условии, что их сумма равна п, выражается формулой:

где п, — интерпретируется как случайная величина — число отказов или восстановлений, происшедших за время х,-.

Рассмотрим все возможные наборы значений пх, п2, ..., пт, при которых ^ л; = п. Эти наборы упорядочивают по величине

где

Далее вычисляют величину

где суммирование проводят по всем выборкам, для которых значение статистики d не превосходит величины d0, вычисленной по формуле (41) по исходным данным.

При больших объемах выборок и большом числе выборок используют асимптотические соотношения. Величина d асимптотически (при X —» °о) имеет распределение у} с к - т - 1 степенями свободы. При п> п и т> т* величина Р из формулы (43) равна Р = Р(х2), где п* и т* — достаточно большие значения п пт.

Для вынесения решения о проверяемой гипотезе выбирают уро- „ а п . а

вень значимости а. Если — < Р < 1 - —, то гипотеза принимается; если D . a D . 1 а

Р < — или Р > 1 - —, то гипотеза отвергается.

Критерий Фишера предназначен для анализа однородности двух выборок из нормально распределенных генеральных совокупностей.

Объем каждой выборки должен быть не менее пяти. Данный критерий не следует применять при распределениях, отличных от нормального, поскольку он неустойчив по отношению к отклонениям от нормальности.

Критерий Фишера может быть продублирован или заменен методом сравнения дисперсий при т = 2. Критерий Фишера служит для проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей: а? -<з. После проверки этой гипотезы следует проверить гипотезу о равенстве средних с помощью критериев Стъюдента и Ван дер Вардена.

Статистикой критерия Фишера служит величина

где sf и $2 — выборочные дисперсии для каждой выборки, вычисляемые по формуле:

где

Если нулевая гипотеза верна, то величина /’подчиняется распределению Fc кх = пх - 1 и к2 = п2 - 1 степенями свободы.

Для вынесения решения о нулевой гипотезе следует вычислить интеграл Снедекора P(F) и выбрать уровень значимости а. Если

ОС ОС ос

— < P(F) <1--, то гипотеза принимается. Если P(F) < — или

P(F) > 1 - у, то гипотеза отвергается.

Критерий Стьюдента предназначен для анализа однородности двух выборок из нормально распределенных генеральных совокупностей. Поскольку этот критерий устойчив по отношению к отклонениям от нормальности, он может использоваться и при других распределениях.

Объем каждой выборки должен быть не менее пяти наблюдений при нормальном распределении и не менее десяти при других распределениях.

С помощью критерия Стьюдента проверяют гипотезу о равенстве средних двух генеральных совокупностей: xcPi = хср2. Критерий Стьюдента следует использовать только после проверки гипотезы о равенстве дисперсий или критерия Фишера. Выборки считают однородными, если приняты гипотезы о равенстве дисперсий и средних. Если гипотезы о равенстве дисперсий отвергают, критерий Стьюдента применять не следует.

Исходными данными для использования критерия Стьюдента (помимо предположения о виде распределения и числа и объемов выборок) являются средние хх и х2 для каждой из выборок и дисперсий sx и s. Эти данные получают при вычислении статистики /’для критерия Фишера.

Статистикой критерия Стьюдента служит величина

где

Если нулевая гипотеза верна, то величина t подчиняется распределению Стьюдента cf=nx + n2-2 степенями свободы. Для вынесения решения о нулевой гипотезе выбирают уровень значимости а и вычисляют интеграл Стьюдента P(t) по формуле:

ОС ОС ос

Если — < P(t) < 1 - —, то гипотеза принимается. Если /(/) < — или

ОС

P(t) > 1 - —, то гипотеза отвергается.

Критерий сравнения параметров двух экспоненциальных генеральных совокупностей следует применять при объеме каждой выборки не менее пяти наблюдений. Этот метод может быть продублирован критериями Вилкоксона и Колмогорова — Смирнова. Выборки считаются однородными, если принимается нулевая гипотеза

2-

Статистикой критерия является величина

где и х2 — выборочные средние. Если нулевая гипотеза верна, то величина Yподчиняется распределению F с к{ = 2п1 и к2 = 2п2 степенями свободы.

Для вынесения решения о проверяемой гипотезе следует вычислить интеграл Снедекора P(Y) и выбрать уровень значимости а. Если ОС ОС ос

— < P(Y) <1 —, то гипотеза принимается. Если P(Y) < — или 2 2 2

ОС

P(Y) > 1 - —, то гипотеза отвергается.

При объемах выборок, превышающих тридцать наблюдений, вычисление интеграла Снедекора затруднительно. Поэтому пользуются тем, что при пх > 30 и п2 > 30 величина

распределена асимптотически нормально с математическим ожиданием

и дисперсией

В этом случае находят величину

и интеграл функции нормального распределения F(s), определенный по формуле (2), выбирают уровень значимости а и выносят решение ос ос

о проверяемой гипотезе. Если — < F(x) < 1 - —, то гипотеза принима- ОС ос

ется. Если F(x) < — или F(x) > 1 - то гипотеза отвергается.

Критерий Ван дер Вардена предназначен для анализа однородности двух выборок из нормально распределенных генеральных совокупностей. Критерий Ван дер Вардена рекомендуется использовать для дублирования критерия Стьюдента.

Критерий Ван дер Вардена является непараметрическим критерием для проверки гипотезы о том, что параметр сдвига одного распределения относительно другого равен нулю. При этом предполагаем, что распределения отличаются только параметром сдвига.

Среди распределений, используемых в настоящей методике, отличаться только параметром сдвига могут лишь нормальные распределения. При этом параметром сдвига является разность между средними.

Для использования критерия Ван дер Вардена выборки объединяют и строят объединенный вариационный ряд. Для наблюдений, входящих в одну из выборок, отмечают их порядковые номера в объединенном вариационном ряду. Рекомендуется отмечать номера (эти номера называются рангами наблюдений из первой выборки) наблюдений из выборки меньшего объема. Предполагается, что пх < п2.

Вычисляют значение статистики критерия X по формуле:

где п = п{ +п2',

ф(Р) — квантиль нормального распределения, соответствующий вероятности Р;

г — ранг наблюдения нз первой выборки.

Суммирование проводится по всем наблюдениям из первой выборки.

Если среди членов объединенного вариационного ряда имеются равные по величине значения х,- и , где х,- — наблюдения из первой выборки, а У( — наблюдения из второй выборки, то поступают следующим образом. Пусть равными оказались члены вариационного ряда Хдд. , ..., xp+l_i,ур+1,ур- (к - общее число равных между собой членов вариационного ряда; / — число равных между собой наблюдений из первой выборки). По порядковым номерам р, р +1, ..., р + к - вычисляют

Затем определяют

Далее вычисляют

В общем случае, когда имеется t групп с равными значениями и упричем общее количество равных элементов в /-й группе равно kj (/ = 1, 2, ..., t), а количество равных наблюдений из первой выборки (xj) в /-й группе равно /,•, то формулы (56)—(58) имеют вид:

Суммирование ведется по всем значениям г, кроме г = р„ г = р( +

+ 1, ..., г = р, + kj - 1; /= 1, 2, ..., t.

При п <20 находят все возможные последовательности вида ххух...ух (общее число элементов х равно nh а элементов у равно пг), для которых значения статистики X не превосходят значения, вычисленного для вариационного ряда, построенного по исходным данным. Обозначим общее число таких последовательностей через L.

Значение функции распределения статистики X вычисляют по формуле:

Выбирают уровень значимости а и принимают решение о нулевой гипотезе (разность между средними равна нулю). Если

ОС ОС ос ос

— < Р < 1 —, то гипотеза принимается. Если Р < — или Р > 1 —, 2 2 2 2

то гипотеза отвергается.

Перебор последовательностей, необходимый для вычисления величины L, входящей в формулу (62), при больших значениях требует много времени.

При п> 20 пользуются асимптотическим распределением статистики X. При больших значениях п = пх + п2 величина Xимеет асимптотически нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией, определяемой по формуле:

где

Вычисляют значение DX по формуле (63) и значение функции нормального распределения F(x) по формуле (2), где значение верхнего предела интегрирования

Выбирают уровень значимости а и выносят решение о проверяе- ОС ос

мой гипотезе. Если — < F(x) <1 —, то гипотеза принимается. Если 2 2

ОС ос

F(x) < — или F(x) > 1 - —, то гипотеза отвергается.

Критерий Вилкоксона предназначен для анализа однородности двух выборок, когда генеральные совокупности подчиняются любому из пяти распределений (нормальное, логарифмически-нормальное, гамма, Вейбулла, экспоненциальное), а также в случае, когда о виде распределения не сделано никаких предположений.

Критерий Вилкоксона служит для проверки гипотезы о том, что функции распределения генеральных совокупностей совпадают во всей области их определения F{ (х) г F2(x).

Для использования критерия Вилкоксона образуют объединенный вариационный ряд для обеих выборок. Статистикой W критерия является сумма рангов (порядковых номеров в объединенном вариационном ряду} наблюдений из первой выборки. Статистика W имеет функцию распределения P(W), приближенно определяемую формулой:

где /(х) и F(x) — плотность и функция нормального распределения с параметрами (0, 1).

При этом предполагается, что щ < п2

Если в вариационном ряду имеются совпадения вида х( = yh где х,- и у/ — наблюдения из разных выборок, то величину DWвычисляют по формуле:

где t — общее количество групп, состоящих из равных по величине значений, принадлежащих к разным выборкам;

kj — количество равных по величине значений в группе с номером / (/= 1,2,..., t).

Для вынесения решения о проверяемой гипотезе вычисляют значения функции P(W) и выбирают уровень значимости а. Если ос ос ос

— < Р(НО <1--, то гипотезу принимают. Если PQV) < — или

ОС

P(W) > 1 - то гипотезу отвергают.

Критерий Колмогорова — Смирнова предназначен для анализа однородности двух выборок, когда генеральные совокупности подчиняются любому из пяти распределений (нормальное, логарифмиче- ски-нормальное, гамма, Вейбулла, экспоненциальное), когда о виде распределения не сделано никаких предположений. Объем каждой выборки должен быть не менее 25 наблюдений. При таких объемах выборок критерий Колмогорова — Смирнова является более мощным, чем критерий Вилкоксона.

Критерий Колмогорова — Смирнова служит для проверки гипотезы о том, что функции распределения генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки, совпадают во всей области их определения: ^(х) = F2 (х). Статистикой критерия Колмогорова — Смирнова является величина Dn{2, определяемая по формуле:

где Fn (х) и F„2 (х) — эмпирические функции распределения соответственно первой и второй выборок.

Для практического вычисления статистики Dn^2 рекомендуется использовать формулы:

где х'2 члены вариационного ряда, построенного по второй выборке.

При вычислении по формулам (72)—(74) предполагается, что щ < п2. Если проверяемая гипотеза верна, то приближенно имеет место соотношение

где

Для вынесения решения о проверяемой гипотезе вычисляют значение функции распределения величины /)ЯЯ2, подставляя в формулу (76) значение у, вычисляемое по формуле:

где величина Р„1П2 вычислена на основании исходных данных по формулам (72)—(74).

Выбирают уровень значимости а и принимают решение о прове- ОС ос

ряемой гипотезе. Если — < К(у) < 1 - то гипотезу принимают. Если

ОС ос

К(у) < — или К(у) > 1 - —, то гипотезу отвергают.

Исходными данными для вычисления оценок параметров являются: выборочные значения наработок или времени восстановления xl5 х2, ..., хп; значение объема выборки п; уровень односторонней доверительной вероятности Рх.

Ниже приводятся формулы для вычисления односторонних доверительных границ, которые могут использоваться как двусторонние. При этом уровень двусторонней доверительной вероятности Р2 вычисляют по формуле:

Точечные оценки Jc0 и с для параметров нормального распределения х0ио вычисляют по формулам:

Доверительные границы для параметров нормального распределения вычисляют по формулам:

где хон и хов соответственно нижняя и верхняя односторонние доверительные границы для параметра х0;

62н и 62в — соответственно нижняя и верхняя доверительные границы для параметра су 2;

tPi — квантиль распределения Стьюдента, соответствующий значению интеграла Стьюдента, вычисленному по формуле (49) и равному Л;

хг ~ квантиль распределения %2 с /-степенями свободы, соответствующий значению интеграла %2, равному Р.

При вычислении двусторонних доверительных границ для су2 в формулах (83) и (84) вместо Xi-pl>n-i и х следует писать соответственно x2i-p. и Хпр.

  • -L,n-1 --,п-1
  • 2 2

Точечные оценки для параметров у0 наL логарифмически-нор- мального распределения вычисляют по формулам:

Доверительные границы для параметров логарифмически-нор- мального распределения вычисляют по формулам:

где уон и yQB — соответственно нижняя и верхняя односторонние доверительные границы для параметра yQ

gh и gb — соответственно нижняя и верхняя доверительные границы для параметра g .

Остальные обозначения аналогичны тем, которые приведены в пояснениях к формулам (81)—(84).

При вычислении двусторонних доверительных границ для g в формулах (89) и (90) вместо Xi-p^n-i и х,п-1 следует писать соответственно Xi_Р и % . Точечные оценки и ав параметров

  • -L п-{ -/7-1
  • 2 2

распределения Вейбулла (3 в и ав получают в результате решения системы уравнений:

Уравнения решаются приближенными методами.

Первое приближение для значения р5 можно найти, решая систему уравнений (91) совместно с уравнением

где х — выборочное среднее.

Затем методом последовательных приближений находят оценки для иав. Точечные оценки pf и аг параметров гамма-распределения рг и аг получают в результате решения системы уравнений

Уравнения решают методом последовательных приближений. В качестве первого приближения можно использовать оценки, найденные методом моментов:

где х и s — выборочные среднее и среднее квадратическое отклонение.

Когда параметр аг не слишком мал, справедливо приближенное соотношение, облегчающее вычисление логарифмической производной

Точечную оценку X параметра экспоненциального распределения X вычисляют по формуле:

Доверительные границы для параметра X вычисляют по формулам:

где X н и X в — соответственно нижняя и верхняя односторонние доверительные границы для параметра А,;

хг ~ квантиль распределения %2 с /-степенями свободы.

При вычислении двусторонних доверительных границ в формулах (98) и (99) вместо Х-рх 2п и % 1п подставляют соответственно

х-рх и х2у+Р .

  • -'-.2п -L.2«
  • 2 2

Для проверки согласия используются критерии х2 и со2. Критерий со2 является более мощным, чем критерий %2, особенно для выборок небольшого объема. Если же в выборке имеются несколько наблюдений, равных по величине, то мажет оказаться предпочтительным применение критерия %2.

Исходными данными для проверки согласия эмпирического и теоретического распределений являются: значения наработки или времени восстановления хь х2, ..., хп число этих значений п; уровень значимости а, при котором производится проверка гипотезы; вид функции теоретического распределения F(x). Рекомендуется производить проверку при нескольких уровнях значимости (например, при а = 0,1 и 0,05).

Критерий х2 применяют для проверки согласия следующим образом. Результаты хх, х2, ..., хп располагают в вариационный ряд и определяют максимальное (хтах) и минимальное (xmin) числа в этом ряду. Интервал xmax - xmin разбивают на / равных по величине интервалов; число / определяют по формуле:

Величина каждого интервала равна:

Подсчитывают количество v, наблюдений, находящихся в каждом из / интервалов (vL, v2, v; = п) и вычисляют частости попадания наблюдений в каждый интервал по формуле:

Величины Pj служат оценками для неизвестных вероятностей pf того, что значение наработки или времени восстановления окажется в данном интервале. Для каждого интервала вычисляют теоретическую вероятность того, что значение наработки или времени восстановления находится в данном интервале:

С помощью критерия проверяется гипотеза о том, что

Статистикой критерия является величина rj, вычисленная по формуле:

При достаточно большом п статистика г приближенно подчиняется распределению у2 с /- 1 степенью свободы. Вычисляют интеграл у2, где в качестве верхнего предела интегрирования используют величину г) и принимают решение о проверяемой гипотезе. Если

а п/ 2ч , ос

  • < Р(% ) < 1 - то гипотезу принимают и согласие считают удовле-
  • 2 ОС л ОС

творительным. Если Р(у ) < — или Р(у ) > 1 - —, то гипотезу отвергают.

Критерий со2 предназначен для проверки гипотезы о том, что неизвестная функция распределения генеральной совокупности, к которой принадлежат значения х,, х2, ..., хп, совпадает с заданной функцией распределения F(x).

Статистикой критерия является величина «со2, вычисленная по формуле:

При достаточно большом « величина «со2 подчиняется распределению, функция которого определяется по формуле:

где Ik(z) — модифицированная функция Бесселя.

Вычисляют значения «со2 и А{х), где в качестве х используют значение «со2 и принимают решение о проверяемой гипотезе. Если

ОС ОС ос

— < А(х) <1--, то гипотезу принимают. Если А(х) < — или

А{х) > 1 - у, то гипотезу отвергают.

Приведем некоторые методы точечных и интервальных оценок следующих показателей надежности:

  • • для ^восстанавливаемых изделий — вероятности безотказной работы, интенсивности отказов, средней наработки на отказ;
  • • для восстанавливаемых изделий — вероятности безотказной работы, параметра потока отказов, средней наработки между отказами, вероятности восстановления, параметра потока восстановления, среднего времени восстановления, среднего коэффициента готовности.

Для понятий «наработка на отказ», «наработка между отказами» и «время восстановления» используется единый термин «случайная величина» в тех случаях, когда это целесообразно.

Если по имеющемуся статистическому материалу была построена плотность вероятности/(х) случайной величины, то точечную оценку вероятности безотказной работы (вероятности восстановления) P(t) вычисляют по формуле:

В частности, для экспоненциального распределения

Если по имеющемуся статистическому материалу плотность вероятности построить не удалось, то точечную оценку вероятности безотказной работы (восстановления) вычисляют по формуле:

где хь х2, ..., хп вариационный ряд значений случайной величины, полученных в результате испытаний или эксплуатации; t — текущее значение случайной величины; п — общее число значений в вариационном ряду.

Доверительные границы для вероятности безотказной работы (восстановления) при экспоненциальном распределении случайной величины вычисляют по формулам:

где Рн (t) и Рв (?) — соответственно нижняя и верхняя доверительные границы для вероятности безотказной работы, определяются по формулам (98) и (99).

В остальных случаях (включая случай, когда распределение случайной величины неизвестно) доверительные границы определяют по формулам:

где P(t) — точечная оценка вероятности безотказной работы, вычисленная по формуле (109).

Величину 5 вычисляют по формуле:

где коэффициент ф выбирают из табл. 7 в зависимости от заданной двусторонней доверительной вероятности Р2 или односторонней доверительной вероятности Р,.

Таблица 7. Значения коэффициенты ф в зависимости от заданной вероятности

Двусторонняя

доверительная вероятность Р2

Односторонняя доверительная вероятность Р

Значения коэффициента ф

0,80

0,90

1,07

0,90

0,95

1,22

0,95

0,975

1,36

0,98

0,99

1,32

Если построена плотность распределения наработки на отказ, то точечную оценку интенсивности отказов X(t) вычисляют по формуле:

В частности, для экспоненциального распределения X(t) = X, где X — параметр экспоненциального распределения. Оценку для интенсивности потока отказов и потока восстановлений определяют аналогично. В этом случае f(t) — плотность вероятности соответствующей случайной величины.

Если распределение наработки на отказ неизвестно, то точечную оценку для интенсивности отказов вычисляют следующим образом. Строят вариационный ряд значений наработки на отказ jc,, х2,..., хп. Выбирают число интервалов /, на которые разбивают разность хп - хх.

Величину интервала Ах определяют по формуле:

Интенсивность отказов определяется по формуле:

Оценки для интенсивности потока отказов и потока восстановлений определяют аналогично. Вместо формулы (117) следует пользоваться формулой

В случае экспоненциального распределения случайной величины нижняя и верхняя доверительные границы для интенсивности отказов параметра потока отказов, потока восстановлений равны соответственно Xн и Xв, которые вычисляются по формулам (98) и (99).

Для других распределений не имеется достаточно общих и удобных методов вычисления доверительных границ для интенсивности отказов и параметра потока отказов (восстановлений).

В машиностроении разработана система стандартов, которая регламентирует порядок сбора и учета информации, планирования наблюдений, формы учета и методы оценки эксплуатационной информации о надежности изделий, способы статистической обработки информации и др.

Существующие методы сбора информации подразделяются на два основных вида: пассивные и активные. Источниками пассивной информации являются: журналы работы машин, оперативная диспетчерская отчетность, акты аварий крупных деталей, сводные ведомости использования машин, технологические карты ремонта машин и др. Кроме того, к источникам пассивной информации можно отнести систематизированные данные различных научно-исследовательских организаций и опубликованные работы, а также климатические сведения. Активными приемами сбора информации являются: хронометражные наблюдения, инструментальные исследования, осмотр разрушившихся деталей и отбор проб для металлографических исследований.

Сочетание активных и пассивных методов сбора информации позволяет повысить ее достоверность.

В общем случае для сбора и обработки информации пассивным методом предусматриваются следующие виды форм учета наработок, повреждений и отказов:

а) первичные формы учета эксплуатационной информации о надежности, которые заполняются на месте эксплуатации.

Основными первичными формами являются:

  • • журнал учета наработок, повреждений и отказов изделий;
  • • журнал учета технического обслуживания и ремонта изделий;
  • • разовые документы эксплуатации изделий предприятием;
  • • путевой лист, карточка на ремонт агрегата, донесение об отказе изделия и т. п.;
  • б) формы-накопители, предназначенные для записи информации, систематизированной по необходимому признаку, которые заполняются по данным первичных документов или в процессе наблюдения специально выделенным и обученным персоналом.

Основными формами-накопителями являются:

  • • карта-накопитель наработок, повреждений и отказов изделия;
  • • карта-накопитель сведений о техническом обслуживании и ремонте изделий;
  • в) формы записи результатов анализа надежности, предназначенные для записи данных о количественных и качественных данных результатов анализа надежности изделия и его составных частей, о режимах работы, о фактическом расходе запасных частей, о причинах отказов, о номенклатуре деталей и сборочных единиц, лимитирующих надежность изделия.

Основными формами записи результатов анализа надежности являются:

  • • сводный перечень оценок показателей надежности изделия;
  • • сводный перечень оценок показателей надежности составных частей изделия;
  • • сводный перечень видов повреждений и отказов изделия;
  • • сводная ведомость расхода запасных частей;
  • • сводная ведомость трудоемкости и стоимости технического обслуживания и ремонта.

По требованию ГОСТа все виды форм сбора информации в качестве обязательных сведений должны содержать:

  • 1. Журнал учета наработок, повреждений и отказов:
    • • паспортные данные об изделии;
    • • наименование эксплуатирующего предприятия;
    • • режимы работы и условия эксплуатации;
    • • дата и время включения и выключения изделия;
    • • наименование поврежденной детали или сборочной единицы;
    • • наработка с начала эксплуатации;
    • • описание характера, внешнего проявления и предполагаемой причины повреждения или отказа;
    • • способ устранения повреждения или отказа;
  • 2. Журнал учета технического обслуживания и ремонта изделий:
    • • паспортные данные об изделии;
    • • наименование эксплуатирующего (ремонтирующего) предприятия;
    • • наименование поврежденной сборочной единицы или детали;
    • • дата и время проведения технического обслуживания или ремонта;
    • • вид технического обслуживания или ремонта;
    • • способ устранения повреждения или отказа;
    • • продолжительность технического обслуживания или ремонта;
    • • стоимость технического обслуживания или ремонта с учетом стоимости замененных деталей;
  • 3. Разовые документы эксплуатации изделия должны содержать информацию, позволяющую заполнять формы-накопители и формы записи результатов анализа надежности;
  • 4. Карта-накопитель наработок, повреждений и отказов:
    • • паспортные данные об изделии;
    • • наименование эксплуатирующего предприятия;
    • • режимы работы и условия эксплуатации изделия;
    • • дата выявления повреждения или отказа;
    • • наименование поврежденной сборочной единицы или детали;
    • • наработка до отказа;
    • • описание характера, внешнего проявления и предполагаемой причины повреждения или отказа;
    • • способ устранения повреждения или отказа;
  • 5. Карта-накопитель сведений о техническом обслуживании и ремонте изделия:
    • • паспортные данные об изделии;
    • • наименование эксплуатирующего (ремонтирующего) предприятия;
    • • наименование поврежденной сборочной единицы или детали;
    • • вид технического обслуживания или ремонта;
    • • продолжительность и трудоемкость технического обслуживания или ремонта;
    • • причина повреждения или отказа;
    • • стоимость технического обслуживания или ремонта с учетом стоимости использованных запасных материалов;
  • 6. Сводный перечень оценок показателей надежности изделия или составных частей изделия:
    • • паспортные данные об изделии;
    • • показатели надежности изделия (его составных частей),

характеризующие свойства надежности;

  • • точечные оценки показателей надежности;
  • • режимы работы и условия эксплуатации, применительно к которым проводилась оценка надежности;
  • 7. Сводный перечень видов повреждений и отказов изделия:
    • • паспортные данные об изделии;
    • • перечень повреждений и отказов, выявленных в процессе эксплуатации;
    • • причина повреждения или отказа;
    • • количество повреждений и отказов данного вида;
    • • средняя величина наработки до повреждения (отказа);
  • 8. Сводная ведомость расхода запасных частей:
    • • паспортные данные об изделии;
    • • перечень заменяемых частей изделия;
    • • количество произведенных замен за время наблюдения;
    • • стоимость замененных частей;
    • • стоимость ремонта, включающая стоимость деталей и стоимость работ по их замене;
  • 9. Сводная ведомость трудоемкости и стоимости технического обслуживания и ремонта изделия:
    • • паспортные данные об изделии;
    • • вид технического обслуживания или ремонта;
    • • стоимость технического обслуживания или ремонта с учетом стоимости замененных частей и работ по их замене.

При сборе информации согласно ГОСТу 17510—79 предусматривается пять основных планов проведения наблюдений, обозначенных индексами [NUNJ; [NUrJ; [NUT]; [NRrJ; [NRTJ.

Целью планирования наблюдений является определение требуемого объема наблюдений для получения оценок показателей надежности с заданной точностью и достоверностью.

Методика определения минимального объема наблюдений для каждого из пяти основных планов наблюдений подробно изложена в ГОСТе 17510-79.

Для обеспечения контроля качественных показателей надежности применяются различные виды специальных испытаний (определительные, контрольные, приемно-сдаточные, аттестационные и т. п.).

Рекомендуется организовать сбор эксплуатационной информации по нескольким направлениям:

  • а) наблюдение за эксплуатацией больших групп машин у потребителя;
  • б) изучение технического состояния деталей машин и агрегатов, поступающих в капитальный ремонт;
  • в) сбор сведений о расходе запасных частей в рядовой эксплуатации и при капитальных ремонтах;
  • г) изучение эксплуатационных затрат на поддержание работоспособности машин.

Подобная информация и систематический ее анализ в сочетании с данными расчетов и испытаний создают основу выбора наилучших путей повышения надежности конструкций.

В настоящее время в различных отраслях машиностроения используются следующие методы сбора информации:

  • • постоянные наблюдения при подконтрольной эксплуатации на опорных пунктах;
  • • постоянные наблюдения в эксплуатации с периодическим посещением объектов наблюдений;
  • • периодические наблюдения в эксплуатации;
  • • сбор данных на ремонтных предприятиях;
  • • разовые наблюдения и анкетирование.

Согласно ГОСТу 17526—72 под подконтрольной эксплуатацией понимается эксплуатация заданного количества изделий в соответствии с требованиями технической документации, сопровождаемая контролем состояния каждого изделия, специально подготовленным персоналом.

Наиболее полная и достоверная информация — при постоянных наблюдениях изделий в подконтрольной эксплуатации на опорных пунктах. Этот метод сбора информации является единственным, обеспечивающим получение в полном объеме исходных данных для решения всего комплекса задач по повышению надежности.

Постоянные и периодические наблюдения в эксплуатации благодаря большому объему данных также дают возможность решения широкого круга задач для оценки надежности. Следует, однако, учитывать, что данные эксплуатации (особенно при периодических наблюдениях) характеризуются существенно меньшей достоверностью по сравнению с подконтрольной эксплуатацией. В то же время, реальная эксплуатация для изделий машиностроения представляет собой весьма информативный вид испытаний, поскольку при ней изделие подвергается обширному диапазону внешних воздействий. Объем испытаний изделий серийного производства при рядовой эксплуатации в ряде случаев недостижим для других форм накопления информации.

Случайность объемов, неполнота, не всегда высокое качество получаемых эксплуатационных данных, многообразие и нестандартность их типов — все это вынуждает искать и применять методы и приемы, которые смогли бы обеспечить получение удовлетворительной достоверности оценок показателей надежности.

При решении определенных задач эффективно применять метод разового обследования для большого числа смешанных по «возрастному» составу парка машин.

Недостатками метода разового обследования являются невозможность получения сведения об эксплуатационных отказах. Этот метод не дает информации о заменах деталей при текущих ремонтах изделий в эксплуатации и применим лишь для времени, когда серийные машины начинают поступать в капитальный ремонт.

Рассмотренные методы сбора информации охватывают все основные сведения, необходимые для оценки эксплуатационной надежности машины. Однако для условий Севера характерны некоторые дополнительные особенности работы машин, которые определяются специфическими природно-климатическими условиями. Для выявления этих особенностей и правильного их учета при сборе и обработке информации нами введены и заполняются «Карточки разрушенных деталей».

Карточка состоит из двух частей.

В первой части кроме адресных данных по машине и разрушенной детали, условий возникновения отказа приводятся результаты лабораторных исследований по химическому составу, термообработке и прочностные характеристики материала детали.

Во второй части даются выводы по соответствию марки материала, технологии изготовления требованиям рабочего чертежа изделия и общий вывод о причине разрушения детали.

Каждая «Карточка разрушенной детали» представляет собой законченную исследовательскую работу по каждому случаю разрушения, что позволяет вести учет разрушений по различным факторам.

Сочетание этой методики с активными и пассивными методами сбора информации позволяет охватывать все сведения, необходимые для оценки эксплуатационной надежности горнотранспортных машин, работающих в специфических условиях Севера.

Контрольные вопросы

  • 1. Что такое надежность? Каковы ее параметры?
  • 2. Назовите классификацию отказов.
  • 3. Дайте определения свойств надежности.
  • 4. Что такое низкотемпературный отказ?
  • 5. Какими законами распределения пользуется теория надежности?
  • 6. Какие существуют методы сбора информации об отказах?
  • 7. Сколько существует планов проведения наблюдений?
  • 8. Что такое нормальное распределение?
  • 9. Что такое логарифмически-нормальное распределение?
  • 10. Что такое гамма-распределение?
  • 11. Что такое распределение Вейбулла?
  • 12. Что такое экспоненциальное распределение?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >