ЭПЮРЫ ТОЧЕК. МЕТОДОЛОГИЯ ИЗУЧЕНИЯ И РЕКОНСТРУКЦИИ ЭПЮРА

Вернемся к проецированию точки А и эпюру на рис. 6. В ортогональном проецировании изображаемые точки принято обозначать прописными буквами начальной части латинского алфавита (А, В, С, D, Ейт.д.). Для последующего решения задач начертательной геометрии студентам рекомендуется использовать тетрадь в клеточку; это позволит не только гарантировать перпендикулярность между осью проекций эпюра и линиями проекционной связи построения, но задействовать в заданиях и решениях координатный способ Декарта. Так, изображенный на рис. 6 эпюр точки А можно задать более экономным способом в виде хА = 2, уА = 3, zA = 5 или еще более коротко: А (2, 3, 5).

При использовании тетради в клеточку за масштабную единицу координат целесообразно принимать одну тетрадную клеточку. Это обстоятельство следует иметь в виду при разборе и решении задач, предлагаемых студентам в методических указаниях для самостоятельных упражнений. При иных обстоятельствах в качестве масштабной единицы можно пользоваться оговоренным числом миллиметров.

Эпюр точки А строят по ее заданным координатам в такой последовательности действий (рис. 7).

  • 1. Выбирают на свободном листе бумаги положение оси проекции Ох. В правой концевой точке оси проекций ставят вертикальную засечку, обозначая начало отсчета О. С левой стороны оси на ее уровне помещают буквенное обозначение х (икс).
  • 2. Отмеряют и откладывают в сторону положительного направления оси Ох от начала отсчета О величину абсциссы ха точки А в принятом масштабе координатных единиц (иногда левый конец отложенного отрезка помечают символом проецируемой буквы с добавлением индекса «х»: Ах). Через полученную концевую засечку абсциссы точки проводят вверх и вниз от оси проекций линии проекционной связи. Чтобы облегчить построение ординаты и аппликаты проецируемой точки на эпюре, полезно на первых порах иметь перед глазами мнемоническую схему-подсказку (рис. 8). Положи-

Рис. 7

Рис. 8

тельную ординатур откладывают вдоль линии проекционной связи вниз от оси, помещая на ее конце горизонтальную проекцию Ах точки А. Положительную аппликату za откладывает вдоль линии проекционной связи вверх от оси, помещая на ее конце фронтальную проекцию А2точки А.

Задача студентов на ближайшее будущее — научиться анализировать изучаемые эпюры основных геометрических образов, чтобы уметь однозначно идентифицировать изображенную на эпюре геометрическую фигуру, четко выделяя ее из ряда других аналогичных фигур, уяснить причины различия между сравниваемыми фигурами (т.е. обстоятельства, способствующие однозначной идентификации того или иного геометрического образа). Наша задача — помочь студенту в выработке названного умения. Развитию у будущих инженеров пространственного представления, «объемного» мышления (в компьютерной графике — 3D), без которого затруднительна конструкторская, творческая изобретательская работа, и способствует решение задач по начертательной геометрии.

Изучение начертательной геометрии позволяет обучающимся активизировать свое пространственное воображение. Ниже приводим ряд приемов, способствующих подобной активизации мышления. Однако (при дефиците учебных часов) полагаем нецелесообразным распространять круг подобных упражнений за пределы элементарных геометрических образов: точки, прямой и, насколько это удастся обучающимся, — плоскости.

Однако основным в изучении курса, начиная с самого первого знакомства с эпюрами, мы считаем не совершенствование культуры пространственного мышления, а отыскание обучающимися и четкое усвоение ими найденных эпюрных признаков тех или иных геометрических свойств и закономерностей. Предлагаемое пособие призвано всемерно помочь студентам в этой миссии. Преподаватели начертательной геометрии очень довольны ответом А. Эйнштейна на вопрос: «Говорят, что на возникновение у Вас интереса к науке большое влияние оказала книга по начертательной геометрии, когда Вам было 12 лет. Правда ли это?» Ответ гения приводится во многих книгах: «Мне самому кажется странным, что это оказало значительное влияние на мое развитие».

Иными словами, студенты должны уяснить определенный минимум типовых алгоритмов, предназначенных для решения существующих типов учебных задач. Остается пожелать им неукоснительно придерживаться в изучении начертательной геометрии следующих правил.

  • 1. Не начинать изучение очередного параграфа или раздела начертательной геометрии, не усвоив всего предыдущего материала, поскольку построение курса, как любой другой ветви геометрической науки, осуществляется, как правило, в порядке логической зависимости излагаемого материала от ранее рассмотренных предложений, постулатов и аксиом, служащих базой для строгого логического развертывания курса. В этом обстоятельстве содержится один из главных истоков многочисленных трудностей на пути усвоения начертательной геометрии студентами: недопустимые пробелы в регулярном изучении материала нарушают упорядоченность его восприятия и препятствуют формированию необходимых системных связей в сознании обучающихся.
  • 2. Отдельные правила, свойства и алгоритмы, облеченные в текстовую (вербальную) форму, авторы находят возможным рекомендовать студентам запоминать. Такого рода материалы выделены жирным шрифтом. Многолетний опыт преподавания начертательной геометрии убеждает в действенной эффективности приведенных рекомендаций.

Чтобы облегчить мысленную реконструкцию эпюра точки в трехмерную картину расположения точки в пространстве, студент должен представить аудиторию, в которой он находится, как модель первой четверти пространства: пол аудитории должен представляться ему горизонтальной плоскостью проекции П1} фронтальная стена аудитории с классной доской отождествляется им с фронтальной плоскостью проекций П2. Правая (для студента, смотрящего на фронтальную плоскость П2) стена служит при необходимости профильной плоскостью П3. В том месте, где пересекаются все три плоскости проекций, находится начало отсчета О. Пересечения плоскостей дают оси проекций двугранного утла; П, и П2, пересекаясь, образуют ось абсцисс Ох; пересечение Щ и П3 дает ось ординат Оу; в пересечении П2 и П3 имеет место ось аппликат Oz.

Примеры для самостоятельной работы

Упражнение 1.1

Пусть задана точка А (2, 5, 3).

Расстояние точки А от профильной плоскости П3 равно расстоянию вдоль оси Ох от начала отсчета О до линии проекционной связи, проведенной через две проекции точки (для заданной точки А это расстояние равно ее абсциссе, т.е. двум масштабным единицам, х = 2).

Расстояние точки А от горизонтальной плоскости определяется величиной удаления фронтальной проекции А2 от оси проекций Ох (аппликата z. = 3 точки А).

Расстояние точки А от фронтальной плоскости П2 определяется величиной удаления горизонтальной проекции Ах от оси Ох (ордината у = 5 точки А).

Вот почему отсутствие самой точки на эпюре не мешает исполнителю «прочитать» эпюр, т.е. реконструировать положение точки в пространстве на основании данных, содержащихся в эпюре.

Реконструкция точки А в пространстве класса осуществляется по той же схеме, что и построение ее эпюра по заданным координатам. Отмеряют по оси х от начала О (например, в шагах) расстояние, равное абсциссе точки. В полученной точке оси можно восставить перпендикуляр к полу, проложив его по фронтальной плоскости и отложив от оси вверх величину аппликаты точки А. Отмечают на фронтальной плоскости положение фронтальной проекции А2 точки А. Если встать в этом месте спиной к фронтальной стене и сделать от нее столько шагов в глубь класса, чему равна ордината точки, можно отметить на полу положение горизонтальной проекции Ах точки А. Мысленно восставив перпендикуляр к полу из горизонтальной проекции А{ точки А и мысленно или с помощью отвеса замерив от пола вверх заданную величину аппликаты za точки, фиксируют положение в пространстве обсуждаемой точки А.

Упражнение 1.2

По описанной методике зафиксировать в пространстве первой четверти (аудитории) положение двух точек: А (4, 5, 5) и if (1, 2, 1). Смоделировав положение точек в пространстве аудитории, можно попросить двух студентов зафиксировать эти точки, а затем мысленно соединить их воображаемой нитью и попытаться спроецировать эту нить на плоскости проекций. Переходя к эпюру, убедиться, что проекциями отрезка прямой служат прямолинейные отрезки.

Изучим четыре различных возможных случая расположения точек в пространстве первой четверти.

Если точка расположена в пространстве произвольным образом, ее называют точкой общего положения. Для точки общего положения все три координаты (х, у, z) отличны от нуля. Точку, у которой ордината и аппликата равны между собой, считают принадлежащей биссекторной плоскости первого угла, проходящей через ось проекции Ох под равными углами к плоскостям проекций и П2 (рис. 9).

Рис. 9

Упражнение 1.3

Мысленно смоделируйте в своем представлении положение биссекторной плоскости и точки на ней в пространстве первого угла. Изобразите такую точку на эпюре. Какой эпюрный признак свидетельствует о принадлежности точки к биссекторной плоскости пространственного двугранного угла?

Ответ: равные удаления обеих проекций точки от оси проекций эпюра (z = y).

Если точка окажется расположенной в одной из плоскостей проекций, одна из ее координат обращается в нуль; с соответственной проекцией точки на заданную плоскость в рассматриваемом частном случае будет совпадать сама проецируемая точка.

На рис. 10 точка В принадлежит фронтальной плоскости, точка С — горизонтальной. Если точка лежит на оси проекций, обе ее проекции и сама точка представляют единый геометрический образ (такова точка D на рис. 10 и 11).

Упражнение 1.4

Рассмотрим эпюр четырех характерных случаев расположения точек в пространстве первой четверти, изображенный на рис. 11.

Рис. 11

Рис. 10 Рис. 11

Попытайтесь мысленно реконструировать положение каждой из заданных точек в пространстве первой четверти. По их эпюру отождествите три частных случая расположения точки в пространстве первой четверти, изображенные на рис. 10, с аналогичными случаями, изображенными на эпюре рис. 11.

Упражнение 1.5

В качестве средства самопроверки предлагаем студентам самостоятельно заполнить таблицу идентификации (распознавания) положения точек в пространстве первой четверти по совокупности обозначенных эпюрных признаков. Необходимо заполнить содержание четырех ячеек табл. 1 (обозначенных цифрами 1—4), указав, какому из случаев расположения точки в пространстве первой четверти отвечает тот или иной вариант. (Ответ: 1 — точка общего положения; 2 — точка принадлежит П2; 3 — точка принадлежит П,; 4 — точка принадлежит оси проекций Ох).

Таблица 1

Фронтальная проекция точки

Горизонтальная проекция точки

лежит

ниже оси проекций

лежит

на оси проекций

Лежит выше оси проекций

1

2

Лежит на оси проекций

3

4

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >