Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Дискретная оптимизация. Модели, методы, алгоритмы решения прикладных задач

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Расчёт оптимальных сроков замены оборудования

Задача о замене оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Старение оборудования включает его физический и моральный износ. В результате чего увеличиваются производственные затраты, растут затраты на обслуживание и ремонт, снижается производительность труда и ликвидная стоимость.

Критерием оптимальности в этой задаче является либо прибыль от эксплуатации оборудования, либо суммарные затраты на его эксплуатацию в течение планируемого периода либо иной количественный показатель эффективности использования оборудования.

Для осуществления своей эффективной деятельности производственные объединения и предприятия должны периодически производить замену используемого ими оборудования, поскольку его дальнейшая эксплуатация может обойтись дороже, чем ремонт. При этой замене учитывается производительность используемого оборудования и затраты, связанные с его содержанием и ремонтом.

Задача о замене оборудования рассматривается как многоэтапный процесс, который характерен для динамического программирования и может быть сформулирована следующим образом. К началу рассматриваемого периода на предприятии установлено новое оборудование. В процессе работы оборудование ежегодно приносит прибыль и требует эксплуатационных затрат. Эти характеристики зависят от возраста оборудования. По окончании каждого года принимается решение: сохранить оборудование или приобрести новое. В случае сохранения оборудования возрастают эксплуатационные расходы, и понижается его производительность. При замене нужны значительные дополнительные капитальные вложения. Задача состоит в определении такой оптимальной стратегии замен в плановом периоде, при которой суммарный показатель эффективности использования оборудования за этот период был бы максимальным. В качестве такого показателя (целевой функции) примем стоимость производимой на этом оборудовании продукции, из которой вычитаются все затраты на её производство и на замену оборудования. Эта целевая функция характеризует эффективность производства с применением рассматриваемого оборудования в течение заданного периода времени.

Задачу можно рассматривать как задачу динамического программирования, в которой в качестве системы S выступает оборудование. Состояния этой системы определяются фактическим временем использования оборудования (его возрастом) t. В случае оборудования одного вида состояние системы определяется единственным параметром t. Когда на предприятии установлено несколько взаимодействующих видов оборудования, то необходимо учитывать время эксплуатации (возраст) каждого из них. Соответственно характеристикой состояния в этом случае будет возраст оборудования каждого вида, т.е. вектор t(ti, h,.. .,tn).

В качестве управлений выступают решения о замене или сохранении оборудования, принимаемые в конце каждого года эксплуатации. Каждое из управлений принимает одно из двух значений : 0 или 1. Может осуществляться полная замена оборудования всех видов или только одного или нескольких видов оборудования, или ничего не заменяется.

Обозначим через щ решение о сохранении всех видов оборудования, через иг - решение о замене только оборудования первого вида, через из - решение о замене только второго и т.д. Таким образом, каждому решению соответствует вектор из п компонент, которые могут принимать значения 0 или 1. Общее число принимаемых решений зависит от количества видов оборудования, установленного на предприятии, и составляет 2", где п - количество видов оборудования. Тогда задача состоит в нахождении такой стратегии управления, определяемой решениями, принимаемыми в конце каждого года, при которой целевая функция принимает максимальное значение.

Таким образом исходная задача сформулирована в терминах динамического программирования. Целевая функция обладает свойствами аддитивности, так как общая эффективность производства определяется суммированием по годам. Влияние предыстории отсутствует, так как для дальнейшего выбора имеет значение только текущее состояние, но не то, как оно получено. Следовательно, решение можно найти с помощью метода динамического программирования, реализуемого в два этапа. На первом этапе при движении от начала первого года запланированного периода к последнему году для каждого допустимого состояния найдем условное оптимальное управление (решение), а на втором этапе при движении от последнего года к первому из условных оптимальных решений для каждого года составим оптимальный план замены оборудования на запланированный период. Другими словами, в конце каждого года, перебирая все возможные состояния, в которые можно перейти, для каждого из них находим и запоминаем из какого состояния конца предыдущего года это лучше сделать.

Так как мы предположили, что в конце к-го года для каждого оборудования может приниматься только одно из двух решений - заменять или не заменять оборудование, то эффективность производства за к+1-ый год для п зависимых между собой видов оборудования составит:

Здесь Ri - доход от эксплуатации i-ro вида оборудования за к-ый год, ti - возраст i-ro вида оборудования в конце k-го года, ai - коэффициент, показывающий, какое влияние оказывает i-oe оборудование на все остальные, Ci - затраты на замену i-ro вида оборудования, которые могут быть функциями Ci(ti), например, если заменяемое оборудование реализуется по остаточной стоимости. В этой формуле первая строка соответствует отсутствию замены оборудования в конце k-го года, при этом ti,t2,...,tn не превосходят к, но могут быть меньше, если ранее уже была замена соответствующего вида оборудования. Вторая строка соответствует замене только оборудования первого вида, далее только второго и т.д. Следующие Сп2 строк соответствуют одновременной замены оборудования двух видов, затем Сп3 строк - замене оборудования трёх видов и наконец последняя строка соответствует замене оборудования всех видов в конце k-го года.

За первый год эффективность производства равена Ri(0)+R2(0)+...+Rn(0). Возможно 2П вариантов управлений в конце первого года и соответственно 2П состояний на следующем (втором) этапе. В каждое состояние ведёт один путь и никакой отбраковки путей нет. Однако уже на следующем этапе такая отбраковка путей возможна. Например, есть только один вид оборудования, которое заменили после двух лет эксплуатации (состояние ноль). Но оно могло прослужить два года (переход из состояния 1) или только один год и было заменено после первого года эксплуатации (переход из состояния 0).

Могут быть два состояния с разными сроками эксплуатации и разными значениями целевой функции, одно из которых является доминируемым, в том смысле, что оно ни по возрасту, ни по целевой функции не имеет преимуществ, но хотя бы в одном из этих показателей уступает второму. Например, пусть в конце третьего года эксплуатации имеется два состояния с равным значением целевой функции при этом возраст оборудования в одном - один год, во втором - два года. Очевидно, что более старое оборудование в дальнейшем будет приносить меньше прибыли, чем более новое. Здесь возникает идея отбраковки таких заведомо неэффективных состояний. На этом основывается алгоритм динамического программирования с использованием множеств Парето [25], который позволяет сократить число состояний и соответственно объём требуемой памяти и время счёта. Особенно значимым это сокращение становится с ростом числа этапов. Сравнительные результаты расчётов при числе видов оборудования равном 4 по алгоритму Р. Веллмана и по алгоритму динамического программирования с использованием множеств Парето представлены в таблице 4.2. Обозначения : N-число этапов, Ti и Тг соответственно время счёта (в миллисекундах) по алгоритму Р. Веллмана и по алгоритму динамического программирования с использованием множеств Парето.

4. Динамическое программирование с использованием множеств Парето Таблица 4. 2. Результаты расчётов

N

Ti

т2

6

1169

484

9

20608

1170

12

231069

3074

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>