Полная версия

Главная arrow Социология arrow Математические методы в современных социальных науках

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

§ 1. Гиперболический рост — режим с обострением

Учет нелинейности реального процесса усложняет уравнения модели. Однако соответствующее решение вместе с тем несет новую информацию. Исследования нелинейных математических моделей приводят к тому, что многие привычные выводы, полученные на основе линейных моделей, приходится переосмысливать. К ним, как оказалось, относится «миф классической науки» об экспоненциальном изменении во времени населения земного шара[1] [2].

В качестве примера, демонстрирующего влияние нелинейности на характер динамики, рассмотрим простую нелинейную модель:

где т — параметр.

Уравнение (6.1), как и линейное уравнение Мальтуса экспоненциального роста (5.2), отражает положительную обратную связь, которая определяет рост переменной у по принципу «чем больше у, тем выше скорость ее роста». Более того, уравнение Мальтуса (5.2) является частным случаем уравнения (6.1) при т = 0.

Уравнение (6.1) в случае т > 0 используется для анализа демографических процессов, так как численность населения во многих странах, согласно современным данным, росла быстрее, чем по экспоненте[3].

Особенностью уравнения (6.1) является то, что если при т = 0 его решение у = у^ монотонно возрастает при неограниченном росте t, то в случае т > 0 решение уравнения y(t) неограниченно возрастает на конечном промежутке времени [0, /,], где t{ некоторое число. Действительно, интегрирование уравнения (6.1) в силу приводит к соотношению:

гдеуо = т(0) > 0.

Поэтому для зависимости y(t) получаем:

Далее, у0~т > 0, mq> 0. Поэтому разность 0~т — mqt) при увеличении t уменьшается, будучи положительной в начальный момент, и при t = t*, где t* = (yo)~m/(mqt), она обращается в нуль.

Это значит, что при стремлении t к t* функция у = y(t) неограниченно возрастает, таким образом, ее график в силу т > 0 имеет вертикальную асимптоту t = f*: развитие происходит по гиперболическому закону. При этом период резкого роста численности популяции, связанный с приближением t к точке t*, зависит как от начальной численности, так и от значений параметров т и q. Например, при меньшем значении параметра q значение t* больше, т. е. популяционный взрыв происходит позже. То же происходит при уменьшении значений параметров у0 и т. На рис. 6.1 представлены два решения уравнения (6.1) при двух различных начальных условиях у0! и у02.

Итак, рассмотренная модель (6.1) при т > 0 описывает популяционный (демографический) взрыв. Мы видим (см. рис. 6.1), что даже, казалось бы, незначительный учет нелинейности существенно изменяет характер решения: при малых значениях параметра т > 0 решение уравнения (6.1) задает кривую у = y(t) гиперболического

Популяционный взрыв типа, в то время как при т = О соответствующее решение задает экспоненту

Рис. 6.1. Популяционный взрыв типа, в то время как при т = О соответствующее решение задает экспоненту.

В заключение отметим также, что модель, представленная формулой (6.1), служит основой для изучения некоторых режимов с обострением (так называют режимы сверхбыстрого развития динамического процесса, когда характерные величины — в рассмотренном случае численность популяции — существенно возрастают за конечное время, называемое временем обострения[4]).

  • [1] Авторы выражают благодарность профессору, доктору экономических наукВ. В. Лебедеву и кандидату экономических наук К. В. Лебедеву за предоставленные материалы. Глава написана по материалам книги: Лебедев В. В., Лебедев К. В. Указ. соч.
  • [2] См.: Капица С. П., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Синергетика и прогнозы будущего. М., 1997.
  • [3] Там же.
  • [4] См.: Режимы с обострением. Эволюция идеи. Законы коэволюции сложных систем: сб. работ С. П. Курдюмова и его учеников, выпущенный к 70-летию со дня егорождения. М., 1999.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>