Полная версия

Главная arrow Туризм arrow Основы функционирования систем сервиса

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Открытые сети сервиса

Рассмотрим открытую сеть обслуживания (сервиса) с ^ГСМО, удовлетворяющую следующим условиям:

  • 0 каждая СМО представляет систему обслуживания с дисциплиной: первый пришел, первым обслужен. СМО Qk имеет Sk элементов обслуживания с временем обслуживания ц"1;
  • 0 клиенты поступают в СМО Qk сети от внешнего источника или/и из другой СМО согласно пуассоновскому распределению с интенсивностью Хк;
  • 0 клиенты, которые завершили обслуживание в СМО Qj, немедленно поступают в СМО Qk с вероятностью г.к или покидают сеть с

вероятностью ;

0 клиент может посетить одну и ту же СМО несколько раз, если

Гкк >

0 для СМО типа M/M/S/ оо справедливо неравенство Хкк =

= 4'* k.

Если нет обратной связи, то поток на выходе каждой СМО, согласно теореме Бурке, является пуассоновским. Средняя интенсивность поступления клиентов Хк в СМО Qk получается из уравнений баланса потоков (20.12).

Согласно теореме Джексона [49], для сетей, удовлетворяющих перечисленным условиям, совместная вероятность состояний вычисляется как

т.е. вероятность того, что в сети в СМО Q] ,Q2, ...,QK находятся соответственно я,,п2,...,пК клиентов, вычисляется как произведение вероятностей pk(nk) нахождения в СМО Qk nk клиентов для всех А: = 1,2,..., АТ. Следовательно, такая сеть разделима. При этом суммарный проходящий поток

Соответственно число клиентов в различных СМО независимо и среднее число клиентов в сети обслуживания

Среднее время нахождения в сети можно найти с помощью закона Литтла:

Рассмотрим некоторые простые сети обслуживания.

Сеть из двух параллельных СМО типа М/М/1/оо (рис. 20.11). Такие системы полностью независимы и удовлетворяют условиям

теоремы Джексона. Следовательно, вероятность состояний системы можно вычислить в форме произведения:

где согласно (16.8)

Сеть обслуживания из двух параллельных СМО типа М/М/ 1/оо

Рис. 20.11. Сеть обслуживания из двух параллельных СМО типа М/М/ 1/оо

Заметим, что процессы Nx{t) и N2{t), соответствующие числу клиентов в системах, по отдельности являются обратимыми. Можно показать, что совместный процесс также обратим и совместная вероятность удовлетворяет условию локального баланса.

Сеть из двух параллельных СМО типа M/M/1/L. Пусть обе СМО (рис. 20.11) имеют накопители с числом мест ожидания L. Когда накопитель имеет конечную емкость L, то пространство состояний усечено, как показано на рис. 20.12.

Пространство состояний Е параллельной сети обслуживания из двух СМО типа М/М//L

Рис. 20.12. Пространство состояний Е параллельной сети обслуживания из двух СМО типа М/М//L

В усеченном пространстве состояний вероятности состояний имеют ту же форму, что и (20.6):

где — коэффициент, удовлетворяющий

условиям нормировки.

Сеть из двух последовательных СМО типа М/МД (рис. 20.13). Согласно теореме Бурке, выходной процесс каждой СМО является пуассоновским. Процесс на входе СМО Q2 равен процессу, покидающему СМО 0,, и не зависит от состояния Q]. Следовательно, N1 сист и Nj сист независимы. Граф перехода состояний сети показан на рис. 20.14. Очевидно, что диаграмма состояний необратима, так как между двумя соседними состояниями существует поток только в одном направлении.

Последовательная сеть обслуживания из двух СМО типа М/М/

Рис. 20.13. Последовательная сеть обслуживания из двух СМО типа М/М/

Граф перехода состояний последовательной сети обслуживания из двух СМО типа М/М/1

Рис. 20.14. Граф перехода состояний последовательной сети обслуживания из двух СМО типа М/М/1

Однако можно построить эквивалентный граф перехода состояний (рис. 20.15), который является обратимым и, следовательно, имеет локальный баланс и позволяет вычислить двумерную вероятность состояний р„ „2 как произведение одномерных [49]:

где рп — вероятность состояний системы Q] с приведенной нагрузкой и рп — вероятность состояний системы Q2 с

приведенной нагрузкой Эквивалентный граф перехода состояний последовательной сети обслуживания из двух СМО типа М/М/1

Рис. 20.15. Эквивалентный граф перехода состояний последовательной сети обслуживания из двух СМО типа М/М/1

Согласно (16.8), В общем случае вероятность стационарных состояний сети из А'СМО М/М/1 будет иметь вид:

Проведем расчет среднего числа клиентов в сети из двух СМО типа М/М/1:

Как и следовало ожидать, среднее число клиентов в сети равно сумме клиентов в двух СМО.

В общем случае в сети с К СМО типа М/М/1

Используя последний результат и закон Литтла, вычислим среднее время нахождения клиента в сети обслуживания как

т.е. среднее время, которое проводит клиент в сети обслуживания, равно сумме времени нахождения клиента в каждой СМО. В общем случае для сети из К СМО типа М/М/1

Таким образом, рассматриваемая сеть описывается обратимым процессом и имеет такую же вероятность состояний, как и необратимая. В диаграмме на рис. 20.14 не существует локальный баланс, но существует глобальный. В простой последовательности систем обслуживания время нахождения в системе (время ожидания плюс время обслуживания) каждого клиента в каждой СМО независимые случайные переменные, хотя время ожидания не является независимым.

Сеть из двух последовательных СМО типа M/M/S/oo. Рассмотрим сеть обслуживания, состоящую из следующих друг за другом двух СМО со многими одинаковыми элементами обслуживания. Когда клиент покидает СМО Qr он сразу переходит к СМО Q2. При этом очередь к каждой СМО может быть бесконечно большой. Число одинаковых элементов обслуживания в каждой СМО составляет S к, к = 1,2. Поток клиентов на входе сети пуассоновский с интенсивностью X, время обслуживания равно ц"1 и

Интенсивности обслуживания в зависимости от числа занятых элементов обслуживания в каждой СМО Qk

Для каждой СМО вероятность рПк ,к = 1,2, есть вероятность состояния системы обслуживания типа М/М/S/ос с интенсивностью поступления клиентов X и временем обслуживания каждым элементом обслуживания в СМОр"1. Согласно (17.31) и (17.33),

Нагрузка у к = Х/рк СМО Qk должна быть меньше, чем число элементов обслуживания Sk,k = 1,2. В этом случае, согласно теореме Джексона, каждая СМО может быть рассмотрена независимо от всех других СМО и вероятность задержки обслуживания (постановки в очередь) вычисляется по С-формуле Эрланга (17.37). Таким образом, совместная вероятность состояния сети вычисляется как

где

Так как по условию нормировки то

Известно также [40], что модель сети может быть замкнутой, открытой или смешанной, при этом вероятность состояний выражается в форме произведения.

Сеть с обратной связью и различным временем обслуживания. Рассмотрим сеть, состоящую из двух СМО типа М/М/l/оо с временами обслуживания и р, 21 (рис. 20.16). На вход системы поступает пуассоновский поток с интенсивностью А,. С выхода системы также идет пуассоновский поток с той же интенсивностью

Vi-

Сеть с обратной связью из двух СМО типа М/М/1

Рис. 20.16. Сеть с обратной связью из двух СМО типа М/М/1

Процессы в системах обслуживания по отдельности являются обратимыми. Совместный процесс также обратим, и совместная вероятность удовлетворяет условию локального баланса. Используя уравнения баланса, получаем:

Приведенная нагрузка на каждую СМО

Согласно (16.14), среднее число клиентов в СМО

По (20.17), используя (16.8), рассчитываются двумерные вероятности стационарных состояний:

Среднее время нахождения клиентов в сети, согласно закону Литтла,

Сеть из СМО различных типов. На рис. 20.17 показана сеть, состоящая из СМО различных типов, с параметрами: у =10, у 3 =30, П, =2, р2 =60, рз =6, р4 =20, гп =1, г21 =0,1, г24 =0,6, г23 =0,3, г34 =0,9.

Сеть из СМО разных типов

Рис. 20.17. Сеть из СМО разных типов

Используя (20.12), находим интенсивности потоков на входе каждой СМО:

Отсюда

СМО С, и Q3 — типа М/М/сю, поэтому имеют стационарное состояние. На вход СМО Q2 поступает поток Х2 =100/9<ц2 =60, следовательно, она также имеет стационарное состояние. На вход СМО Q4 поступает поток Х4 = 110/34p4 =3-20 = 60, следовательно, и она имеет стационарное состояние. Вероятности состояний систем рассчитываются по формулам:

где

Совместная вероятность вычисляется как произведение вероятностей:

Среднее число клиентов в сети , где

Таким образом, среднее число клиентов в сети

Средняя интенсивность поступления клиентов от внешних источников

Среднее время пребывания клиентов в сети

Оптимизация сетей обслуживания. Рассмотрим сеть, состоящую из А'СМО типа М/М/1. Задачей является минимизация времени 7_, которое клиент проводит в сети обслуживания. Согласно закону Литтла, эта задача эквивалентна минимизации числа клиентов в сети ./VceTb. Предположим, что можно выбрать любое время обслуживания в /-й СМО. При этом имеют место ограничения суммарной стоимости обслуживания в виде равенства

Таким образом, необходимо найти при

ограничении (20.22).

Для оптимизации воспользуемся методом Лагранжа и запишем задачу относительно параметра ц, как

Затем определим х так, чтобы минимум удовлетворял ограничениям:

откуда Подставляя это в ограничения, получаем

Следовательно,

Таким образом, при построении сети из А^СМО типа М / М /1 средства для улучшения обслуживания необходимо распределять в отношении

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>