Полная версия

Главная arrow Туризм arrow Основы функционирования систем сервиса

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

МНОГОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ И СЕТИ СЕРВИСА

Многомерные системы обслуживания

Многие системы состоят из элементов обслуживания, имеющих различные характеристики. Кроме того, системы могут обслуживать клиентов различных типов, поступающих в них с разной интенсивностью. Выше были рассмотрены некоторые из таких систем, анализ которых осуществлялся с использованием представления поведения системы одномерным процессом рождения и гибели. В общем случае системы обслуживания с различными элементами обслуживания и типами клиентов описываются многомерными случайными процессами.

Рассмотрим, например, процесс обслуживания клиентов с двумя возможными интенсивностями ц, и ц2. Если то

для описания системы необходимо определить двумерное состояние }, которому следует сопоставить вероятность в стационарном состоянии Pj^j2 }• Тогда марковское свойство сохраняется и интенсивность перехода, соответствующая состоянию Ej j2 при бесконечном числе элементов обслуживания:

Таким образом, СМО, которые имеют различные элементы обслуживания и обслуживают клиентов различных типов, относятся к многомерным системам и описываются многомерными случайными процессами N(t) = (j ), где jt — состояние элемента обслуживания /, N — размерность системы.

Однако при увеличении числа различных элементов обслуживания и типов клиентов число состояний очень быстро увеличивается. Анализ таких систем можно проводить, если использовать свойства обратимости потоков [26].

Критерий Колмогорова

Рис. 20.1. Критерий Колмогорова: необходимые и достаточные условия для обратимости двумерного марковского процесса

Рассмотрим двумерную диаграмму состояний двумерного процесса Маркова (рис. 20.1). Процесс обратим, если нет циркуляций потоков на диаграмме [45]. Рассмотрим 4 соседних состояния и определим:

0 поток по часовой стрелке

0 поток против часовой стрелки

Полученные соотношения можно записать как 0 почасовой:

0 против часовой:

Критерий Колмогорова гласит: если два этих выражения равны, то имеет место локальный баланс. Необходимым и достаточным условием для обратимости двумерного марковского процесса является равенство потоков между четырьмя соседними состояниями по часовой стрелке и против.

Если обратимый марковский процесс преобразовать, заменив вероятности перехода

где с > 0, то новый марковский процесс также будет обратим и иметь такое же распределение вероятностей в стационарном состоянии. Это следует из того, что сохраняются условия локального баланса [45].

Согласно свойству обратимости, можно записать усеченные уравнения между двумя соседними состояниями как

Как и в одномерном случае, мы можем выразить любую вероятность состояния Pj j через вероятность начального состояния р0 0, выбрав какой-нибудь путь между двумя состояниями. Например, выберем путь (0,0),(1,0),...,(/,1)j). Тогда получим следующее сбалансированное уравнение:

Из условия нормировки всех вероятностей можно найти р0 0.

Для любой TV-мерной системы условия обратимости аналогичны. Кроме того, критерий Колмогорова выполняется для всех возможных путей. Решения, полученные из условия обратимости, будут корректны, если и только если выполняются уравнения баланса узлов, т.е. уравнения глобального баланса.

Бесконечное число элементов обслуживания с двумя типами трафика. Пусть система с бесконечным числом элементов обслуживает клиентов с двумя интенсивностями прихода А,, и Х2 [40]. Клиенты первого типа обслуживаются с временем р , а второго типа с временем^1 ? процессы независимы. Поведение такой системы можно описать двумерным процессом рождения и гибели с параметрами:

Обозначим совместную вероятность того, что в произвольный момент времени j] клиентов 1-го типа и j2 клиентов 2-го типа находятся в обслуживании, а (у,, j 2) — состояние системы. Часть графа поведения системы показана на рис. 20.2.

Граф процесса обслуживания клиентов двух типов системой обслуживания с бесконечным числом элементов обслуживания двух типов

Рис. 20.2. Граф процесса обслуживания клиентов двух типов системой обслуживания с бесконечным числом элементов обслуживания двух типов

Уравнения состояний для каждого узла будут иметь вид Условие нормировки запишем как

Так как число элементов обслуживания бесконечно, клиенты не влияют друг на друга и

Согласно (17.7), для систем с бесконечным числом элементов обслуживания

и в соответствии с (20.3)

В силу независимости процессов уравнения стационарных состояний (20.1) можно записать как усеченные уравнения между двумя состояниями:

Первое и третье, а также второе и четвертое уравнения идентичны.

Из первого уравнения, выражая все вероятности состояний через р0 j , получаем

Из второго, выражая все вероятности состояний через pj2 0 , получаем

Отсюда

где константа с вычисляется из условия нормировки (20.2) и равна

-(V1+Y2)

Как видно, полученные выражения из условий глобального и локального балансов совпадают. Таким образом, если имеет место свойство сохранения потока, то многомерная система может быть разделена и найдено простое решение, т.е. решение вычисляется как произведение решений. Причем решение не зависит от типа распределения времени обслуживания.

Конечное число элементов обслуживания с двумя типами трафика.

Рассмотрим случай, схожий с предыдущим, только для конечного числа элементов обслуживания. Поступающий клиент, обнаружив элементы обслуживания своего типа занятыми, покидает систему. Граф процесса обслуживания показан на рис. 20.3.

Очевидно, что система уравнений стационарных состояний будет аналогична (20.1), только уравнения будут существовать, когда

Таким образом, имеем (S+X){S+2)/2 уравнений [49]. Граф соответствует обратимому марковскому процессу, который имеет локальный баланс. Более того, решение в виде произведения (20.3) также удовлетворяет уравнениям стационарных состояний, т.е.

Следовательно, граничные условия не изменяют форму решения при условии выполнения ограничений (20.5).

Так как мы имеем пуассоновские процессы прибытия клиентов, то, согласно свойству PASTA, вероятности отказа в обслуживании, вычисленные по времени и по числу отказов, одинаковы для обоих потоков и равны Р{у, + у 2 5}. С использованием свертки двух пуассоновских распределений найдем, что вероятность pj того, что у клиентов обслуживаются системой, вычисляется как

Из условий нормировки получим

Граф процесса обслуживания клиентов двух типов системой обслуживания с конечным числом элементов обслуживания Sдвух типов

Рис. 20.3. Граф процесса обслуживания клиентов двух типов системой обслуживания с конечным числом элементов обслуживания Sдвух типов

Мы заключаем, что это усеченное пуассоновское распределение с поступающей нагрузкой |/ = |/j + |/2 = (^ /р,)+(/й 2)и ве_ роятности состояний вычисляются, согласно (17.13) и (17.14), как

Этот результат согласуется с полученными ранее результатами. Когда на вход системы с отказами поступают одновременно два потока, создавая нагрузку у и ц/2, и обслуживаются группой из S элементов обслуживания, каждый поток создает распределение состояний, описываемое законом Эрланга с потерями (усеченный Пуассон) с параметром у = у, + у 2 = Хх /ц, + Х22. Общий прибывающий поток клиентов является суперпозицией двух пуассоновских потоков с общей интенсивностью X = Х1 + Х2.

Время пребывания клиента в системе распределено по гиперэкспоненциальному закону

Среднее время обслуживания вычисляется как

что соответствует проходящему трафику.

Таким образом, мы показали, что модель Эрланга с потерями справедлива для гиперэкспоненциального распределения времени обслуживания.

Возможно обобщить описанную выше модель на N потоков и получить обобщенную многомерную 5-формулу Эрланга:

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>