Полная версия

Главная arrow Туризм arrow Основы функционирования систем сервиса

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Система с конечным числом элементов обслуживания без отказов

Рассмотрим систему, состоящую из S однотипных обслуживающих элементов. В системе без отказов, если прибывший клиент застает все элементы обслуживания занятыми, то он встает в очередь. Пусть число клиентов в очереди не ограничено. Данная модель имеет обозначение М / М / S или М / М / S / ос. Клиенты прибывают с интенсивностью X, =Х, j = 1,2,... Интенсивность обслуживания j элементами равна у'р, у = 1,2,..., S. Если все S элементов обслуживания заняты, то только те клиенты, которые обслуживаются, способны покинуть систему. Поэтому интенсивность обслуживания равна для всех состояний.

Рассматриваемая система может находиться в следующих состояниях:

О 0— в систему не поступил ни один клиент и все обслуживающие элементы свободны;

О 7 — занят 1 обслуживающий элемент, все другие свободны и в очереди никого нет;

О 2 — заняты 2 обслуживающих элемента, все другие свободны и в очереди никого нет и т.д., пока не будут заняты все обслуживающие элементы;

О S— заняты все Sобслуживающих элементов. Очереди нет;

О S +1 — заняты все Sобслуживающих элементов и 1 клиент стоит в очереди;

О 5+2 — заняты все S обслуживающих элементов и 2 клиента стоят в очереди.

Далее для S +q клиентов имеем:

О S+q — заняты все Sобслуживающих элементов и q клиентов стоят в очереди.

И так до бесконечности.

Граф состояний многоэлементной системы обслуживания с

Рис. 17.12. Граф состояний многоэлементной системы обслуживания с

конечным числом элементов обслуживания и неограниченной очередью

Граф состояний системы показан на рис. 17.12. Как видно, при поступлении нового клиента система переводится в следующее состояние. Интенсивность выходного потока клиентов до состояния S пропорциональна числу занятых элементов обслуживания. После занятия всех элементов интенсивность выходного потока постоянна и равна -5ц. Таким образом, система описывается процессом рождения и гибели с бесконечным числом состояний. Порождающая матрица процесса имеет вид:

По графу или с помощью порождающей матрицы можно сразу записать систему уравнений для стационарных состояний:

Финальные вероятности системы существуют, если выполняется условие

где р — приведенная нагрузка на один элемент обслуживания. Очевидно, должно быть |/ < S.

Согласно (17.29), вероятности стационарных состояний

и

или

Из условия нормировки

Так как . Следовательно,

Записав вероятность (17.33) как , и сравнив

с (16.4), можно сделать вывод, что при превышении числом клиентов числа элементов обслуживания система М / М / S ведет себя подобно системе М / М /1 с интенсивностью обслуживания 5р.

Найдем основные характеристики системы. Очевидно, что среднее число занятых элементов обслуживания

Среднее число клиентов, находящихся в процессе обслуживания, равно среднему числу занятых элементов обслуживания:

Вероятность задержки обслуживания, т.е. вероятность ожидания в очереди:

где

Данная формула известна как С-формула Эрланга или формула задержки Эрланга и обычно обозначается как С(5,|/). Вероятность Роч пропорциональна времени занятости всех элементов обслуживания и числу клиентов, которые находят все элементы обслуживания занятыми.

На рис. 17.13 показаны результаты расчета вероятности очереди при различной относительной нагрузке р в зависимости от числа элементов обслуживания S. Как видно, с ростом числа элементов обслуживания вероятность наличия очереди уменьшается.

Зависимость вероятности наличия очереди от числа элементов обслуживания при р = 0,2 (кривая /), 0,4 (2), 0,5 (J) и 0,7 (4)

Рис. 17.13. Зависимость вероятности наличия очереди от числа элементов обслуживания при р = 0,2 (кривая /), 0,4 (2), 0,5 (J) и 0,7 (4)

Для рассматриваемой системы в стационарном состоянии проходящая нагрузка равна приходящей у, т.е. потерь нагрузки нет, все прибывшие клиенты рано или поздно получают обслуживание.

Средняя длина очереди [40]

Дисперсия числа клиентов в очереди

При известном среднем числе клиентов в очереди среднее время ожидания в очереди определяется по формуле Литтла (15.8):

Выражение (17.40) может быть также получено исходя из средних значений обслуживания. Если не все элементы обслуживания заняты, то время ожидания обслуживания равно нулю. Если заняты все элементы обслуживания и имеются клиенты в очереди, то вновь прибывший клиент сначала ждет первого ухода обслуживаемого клиента, затем ждет обслуживания клиентов в очереди, включая время собственного обслуживания:

Используя закон Литтла, представим (17.41) в виде откуда

Зная среднее число клиентов, находящихся в обслуживании (17.36), и среднее число клиентов в очереди (17.40), можно найти среднее число клиентов в системе:

Дисперсия числа клиентов в системе

По формуле Литтла (15.7) получим среднее время пребывания клиента в системе:

Распределение времени ожидания легко найти, используя отмеченное ранее свойство, что при превышении числом клиентов числа элементов обслуживания S система М / М / S ведет себя подобно системе М / М /1 с интенсивностью обслуживания 5р.

Вероятность того, что время ожидания в очереди Точ превысит значение t, имеет вид

т.е., когда N > S,

Следовательно, функция распределения времени ожидания клиента в очереди с учетом (17.37)

Анализ поведения клиента. Рассмотрим граф перехода клиента в системе обслуживания с S элементами и бесконечной очередью (рис. 17.14).

Граф перехода клиента в системе обслуживания M/M/S

Рис. 17.14. Граф перехода клиента в системе обслуживания M/M/S

Клиент может с вероятностью рп прийти в систему, когда хотя бы один элемент обслуживания свободен. На графе это состояния О, 1,..., 5 — 1. В этих случаях он немедленно получает обслуживание в течение времени 1/р и затем выходит из системы. Вероятность прихода клиента в эти состояния вычисляется по (17.31).

Если все элементы обслуживания заняты, то клиент становится в очередь. Состояние Sна графе означает, что все элементы обслуживания заняты и клиент становится первым в очередь. Через среднее время 1/5р какой-либо элемент обслуживания освобождается и клиент переходит в состояние 5— 1, получает обслуживание за время 1/р и выходит из системы. Если клиент по прибытии обнаруживает, что система находится в состоянии 5 + 1, он становится вторым в очередь, и т.д. Вероятности состояний, когда клиент вынужден становиться в очередь, вычисляются по (17.32) или (17.33).

Найдем по графу среднее время пребывания клиента в системе, что соответствует переходу клиента из состояния С в состояние V,

согласно (16.37). По условию нормировки Следовательно,

Подставив значения среднего времени перехода по дугам, получаем

Далее подставим формулы (17.31), (17.32) для вероятностей перехода клиента в заданные состояния. В результате

Из условия нормировки Следовательно,

где

Так как то

Окончательно

что соответствует (17.44).

Аналогично по графу можно получить выражения для среднего времени ожидания в очереди (17.40) и дисперсии времени. Дисперсия времени ожидания в очереди вычисляется по формуле

Используя граф, вычислим распределение вероятности времени ожидания. Согласно графу, оно будет соответствовать функции передачи графа от состояния С до состояния S — 1:

Обратное преобразование Лапласа (17.47) соответствует плотности распределения

функция распределения имеет вид (17.45).

Оптимизация системы М / М / S может быть проведена аналогично оптимизации рассмотренных ранее систем.

Зависимость среднего числа клиентов в очереди от нагрузки i при S = 2 (кривая /), 3 (2), 4 (3), 5 (4) и 6 (5)

Рис. 17.15. Зависимость среднего числа клиентов в очереди от нагрузки i при S = 2 (кривая /), 3 (2), 4 (3), 5 (4) и 6 (5)

На рис. 17.15 показана зависимость числа клиентов в очереди от нагрузки у при различном числе элементов обслуживания S. Очередь становится бесконечно большой, когда нагрузка приближается к числу элементов обслуживания, а число клиентов в очереди уменьшается при увеличении числа элементов обслуживания. Из графиков видно, что число элементов обслуживания можно выбрать исходя из правила

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>