Полная версия

Главная arrow Туризм arrow Основы функционирования систем сервиса

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Система с конечным числом элементов обслуживания с отказами

Рассмотрим случай, когда СМО имеет конечное число S одинаковых элементов обслуживания и система может находиться в S +1 состояниях, определяемых числом занятых обслуживающих элементов. Состояние 0 соответствует тому, что в СМО нет клиентов и все обслуживающие элементы свободны. Состояние у, 0 < j < S, показывает, что в системе находятся j клиентов и обслуживанием занято j обслуживающих элементов. Если все обслуживающие элементы заняты, j > S, то клиент получает отказ.

Диаграмма занятия элементов обслуживания в системе M/M/S/S

Рис. 17.4. Диаграмма занятия элементов обслуживания в системе M/M/S/S

при 5=6

На рис. 17.4 показана диаграмма занятия элементов обслуживания в системе с отказами, состоящей из 6 элементов обслуживания. Данная модель называется моделью Эрланга с потерями и обозначается как M/M/S/S.

Система М / М / S / S всегда имеет стационарное состояние, если поток клиентов не зависит от состояния системы и определяется интенсивностью поступления клиентов

и интенсивностью обслуживания = у'р, у = 1,2,..., S.

Поведение такой системы можно описать процессом рождения и гибели с конечным числом состояний S +1 и интенсивностями переходов (17.10). Граф состояний многоэлементной СМО показан на рис. 17.5.

Граф состояний многоэлементной системы обслуживания с конечным числом элементов обслуживания и с отказами

Рис. 17.5. Граф состояний многоэлементной системы обслуживания с конечным числом элементов обслуживания и с отказами

Порождающая процесс матрица имеет размерность (S + l)x(S + l):

В стационарном состоянии pQ = 0. Применяя правила составления системы уравнений с использованием порождающей матрицы или графа, условий глобального или локального баланса, получим следующую систему уравнений стационарных состояний:

Выражая все вероятности состояний через р0, получаем:

Таким образом, финальные вероятности состояний вычисляются как

и рп =0 для n>S. Распределение (17.13) называется усеченным распределением Пуассона, или распределением потерь Эрланга.

По условию нормировки

Следовательно, финальная вероятность начального состояния

Вероятность отказа в обслуживании равна вероятности того, что все обслуживающие элементы заняты:

Обозначение B(S, ) часто используется для формулы (17.15), известной как В-формула потерь Эрланга. Эта вероятность соответствует вероятности потери клиентов. Вероятность пропорциональна времени, в течение которого все элементы обслуживания будут заняты, и пропорциональна числу клиентов, которые застанут занятыми все элементы обслуживания, т.е. потерянным клиентам.

На рис. 17.6 показаны графики зависимости вероятности отказа от приведенной нагрузки у при различном числе элементов обслуживания S. Как видно, для уменьшения вероятности отказа необходимо увеличивать число элементов обслуживания. По графику можно определить требуемое число элементов обслуживания для заданной вероятности отказа и интенсивности обслуживания.

Вероятность того, что клиент будет обслужен и не получит отказ

характеризует относительную пропускную способность СМ О, т.е. среднюю долю пришедших клиентов, обслуженных системой.

Умножив интенсивность потока клиентов на вероятность обслуживания, получим абсолютную пропускную способность (проходящий трафик):

показывающую среднее число клиентов, обслуживаемых СМО в единицу времени. Она равна интенсивности выходного потока.

Зависимость вероятности отказа в обслуживании от приведенной нагрузки у при S= 1 (кривая У), 2 (2), 3 (J), 4 (4) и 10 (5)

Рис. 17.6. Зависимость вероятности отказа в обслуживании от приведенной нагрузки у при S= 1 (кривая У), 2 (2), 3 (J), 4 (4) и 10 (5)

Среднее число занятых элементов обслуживания можно вычислить по формуле математического ожидания:

Выразим Sзэ0 через Ха:

Поскольку очереди нет, среднее число занятых элементов обслуживания соответствует среднему числу клиентов в системе:

Время, которое клиент проводит в системе, вычислим по формуле Литтла:

Ясно, что время имеет экспоненциальное распределение:

Обозначим выполненную приведенную нагрузку как

т.е. выполненная нагрузка равна части поступившей нагрузки у, которая не потеряна. В частности, когда 5 = оо, получим, что |/обс =|/. Выполненная нагрузка есть нагрузка, которая проходит через систему без блокирования. Соответственно потерянная нагрузка [49]

Следовательно, вероятность отказа вычисляется как отношение потерянной нагрузки к поступившей:

Таким образом, при увеличении числа элементов обслуживания увеличивается выполненная нагрузка.

Вероятность отказа при больших значениях S рассчитывается с помощью рекуррентной формулы [49]

Все элементы обслуживания одинаковы, и общая приходящая нагрузка не зависит от стратегии занятия элемента. В этом случае коэффициент использования элемента обслуживания

На рис. 17.7 показаны графики зависимости коэффициента использования элемента обслуживания от числа элементов при заданной вероятности отказа. С ростом числа каналов система может обслуживать все большую нагрузку и коэффициент использования растет. Однако если задать более низкую вероятность отказа, то коэффициент использования растет медленнее при увеличении числа каналов.

Зависимость коэффициента использования элемента обслуживания от числа элементов при заданной вероятности отказа в обслуживании

Рис. 17.7. Зависимость коэффициента использования элемента обслуживания от числа элементов при заданной вероятности отказа в обслуживании

Проходящий трафик через канал j равен разнице между потерянным трафиком (J - 1)-й канальной системы и потерянным трафиком j-й канальной системы:

Обозначим приращение проходящего трафика, когда число каналов увеличивается от S до S+1:

Можно показать, что

Приращение проходящего трафика в системе M/M/S/Sв зависимости от числа элементов обслуживания при у = 2 (кривая /), 5 (2), 10(7) и 20 (4)

Рис. 17.8. Приращение проходящего трафика в системе M/M/S/Sв зависимости от числа элементов обслуживания при у = 2 (кривая /), 5 (2), 10(7) и 20 (4)

На рис. 17.8 приведены графики зависимости приращения проходящего трафика от числа элементов обслуживания при различных значениях входного трафика. Как видно, с увеличением S приращение проходящего трафика падает: /?0 (vp) = vp/(1 ч- vp), Rх (|/) = 0. Это означает, что при большом числе элементов обслуживания и заданной нагрузке с некоторого момента, когда число элементов достаточно, добавление еще одного элемента мало влияет на приращение обслуживаемого трафика.

На рис. 17.9 показаны графики изменения приращения проходящего трафика в зависимости от входной нагрузки при различном числе элементов обслуживания.

Как видно, с увеличением входной нагрузки растет приращение проходящего трафика: Rs (0) = 0, Rs (сю) = 1. Однако с некоторого значения / большая часть трафика блокируется.

Приращение проходящего трафика в зависимости от входной нагрузки у при S = 2 (кривая I), 5 (2), 10 (3) и 20 (4)

Рис. 17.9. Приращение проходящего трафика в зависимости от входной нагрузки у при S = 2 (кривая I), 5 (2), 10 (3) и 20 (4)

Отметим еще некоторые свойства рассматриваемой системы. Так как суммарная интенсивность выхода из состояния j постоянна и равна А,+ ji, распределение времени нахождения системы в состоянии j экспоненциально с плотностью:

Для рассматриваемой системы также справедлива теорема Бурке.

Анализ поведения клиента. Поведение клиента в рассматриваемой системе изобразим в виде графа (рис. 17.10). Клиент с соответствующими вероятностями из состояния С может попасть в систему обслуживания, находящуюся в том или ином состоянии. Попав в состояния 0,..., S—1, когда имеются свободные элементы обслуживания, клиент выходит из системы в среднем через времяр-1. Попав в состояние S, когда все элементы обслуживания заняты, клиент не получает обслуживание и мгновенно покидает систему (не входит в систему).

Рис. 17.10. Граф занятия элементов обслуживания

С использованием описанной ранее методики можно вычислить среднее время нахождения клиента в системе как время перехода из состояния С в состояние V:

Преобразование Лапласа плотности распределения

Как видно, плотность распределения времени пребывания клиента в системе экспоненциальная и соответствует распределению времени обслуживания.

Оптимизация системы. Как показали предыдущие исследования, для снижения вероятности отказа в обслуживании клиентов необходимо увеличить число элементов обслуживания. Однако такое увеличение связано с дополнительными затратами. Кроме того, когда число элементов превышает некоторое значение, уменьшается коэффициент их использования. Для оценки затрат на увеличение числа элементов обслуживания целесообразно использовать

где С| — стоимость добавления элемента обслуживания.

Для оценки затрат, связанных с потерей клиентов, можно взять Оптимизация системы M/M/S/Sгде с2 — стоимость потерь клиента.

Рис. 17.11. Оптимизация системы M/M/S/S: С при у = 20 (кривая 1) и у = 30 (кривая 2) С2 при у = 20 (кривая J) и у = 30 (кривая 4)

На рис. 17.11 показаны результаты расчетов С{ и С2 для нагрузки у = 20 и 30. Как видно, для заданных значений стоимости оптимальное число элементов обслуживания составляет в первом случае 17, а во втором случае 24.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>