Полная версия

Главная arrow Туризм arrow Основы функционирования систем сервиса

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

СЕРВИС СО МНОГИМИ ОДИНАКОВЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ ОБСЛУЖИВАНИЯ

Система обслуживания с бесконечным числом элементов обслуживания

Одним из способов улучшения обслуживания является использование нескольких элементов обслуживания. Например, пассажиров метро обслуживают несколько касс, в парикмахерских салонах работают несколько мастеров и т.д. В первом случае к каждой кассе устанавливается своя очередь. Во втором случае очередь, как правило, общая.

М ногоэлементная система обслуживания с общей очередью

Р и с. 17.1. М ногоэлементная система обслуживания с общей очередью

На рис. 17.1 показана схема многоэлементной системы обслуживания с общей очередью, а на рис. 17.2 — с отдельной очередью для каждого элемента обслуживания.

Система с бесконечным числом элементов обслуживания с пуассоновским потоком клиентов и экспоненциальным временем обслуживания обозначается как М / М / оо. В такой системе состояние j обозначает число занятых элементов обслуживания и соответствует числу клиентов в системе, j — 0,1,2,... Примером такой системы может служить случай, когда поток клиентов мал, а число обслуживающих элементов превышает число клиентов, требующих обслуживания.

Многоэлементная система обслуживания с отдельной очередью

Рис. 17.2. Многоэлементная система обслуживания с отдельной очередью

На рис. 17.3 изображен граф перехода системы М / М /ос в различные состояния. Так как процесс ординарен, переход возможен только в соседние состояния.

Граф состояний системы обслуживания типа А//А//оо

Рис. 17.3. Граф состояний системы обслуживания типа А//А//оо

В состоянии j система находится в равновесии в течение времени, пропорционального вероятности этого состояния . Находясь в состоянии у, процесс может X раз в единицу времени перейти в состояние j +1 и ji раз — в состояние j — 1. Как видно, с ростом числа элементов обслуживания интенсивность обслуживания возрастает, что объясняется следующим образом.

Предположим, что п элементов обслуживания заняты в момент времени /. Тогда вероятность того, что в течение времени (t,t + At) занятый элемент завершит обслуживание, равна pA/+c>(A/). Так как в момент / занято п элементов обслуживания, вероятность того, что какой-нибудь из них завершит обслуживание в течение времени (t,t+ At), рассчитывается с использованием биномиального закона распределения (11.27):

Аналогично определяется вероятность того, что за время (/,/+ At) завершат обслуживание г элементов:

Как видно, вероятность этого события очень мала. Поэтому, когда обслуживанием заняты п элементов, только вероятность освобождения одного элемента не является бесконечно малой величиной и интенсивность обслуживания п элементами равна пл .

Таким образом, данный процесс можно описать моделью рождения и гибели с интенсивностью поступления клиентов А, • = X для всех 0< у < оо и интенсивностью обслуживания xj=jx, 7=0,1,2,...

Порождающая матрица процесса имеет вид:

Так как в стационарном состоянии pQ=0, можно записать следующую систему уравнений:

Поскольку система может находиться в любом состоянии, имеет место условие нормировки

Так как граф является деревом, то, рассматривая граф слева направо и используя разрезы, запишем систему уравнений из условий локального баланса (13.38):

Выражая все вероятности состояний через р0, получаем следующую систему уравнений:

где — приведенная нагрузка.

Из условия нормировки (17.4)

Следовательно, вероятность занятия j элементов обслуживания распределена по закону Пуассона (11.40) с параметром у:

Число клиентов в системе также распределено по закону Пуассона (17.7). Среднее число и дисперсия клиентов в системе, согласно (11.43), (11.44), равны

Процесс покидает состояние j с интенсивностью (А,+ у'ц), поэтому время до первого перехода в состояние j +1 или j -1 распределено экспоненциально с параметром (А.+ у'ц) и имеет плотность вероятности [45]

Поскольку элементов обслуживания бесконечно много, в очереди никого нет. Время, которое клиент проводит в системе, равно времени обслуживания ц-1.

Для системы М / М /ос справедлива теорема Бурке. Все клиенты, проходя через такую систему, сохраняют экспоненциальное распределение времени.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>