Полная версия

Главная arrow Туризм arrow Основы функционирования систем сервиса

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Сервис с одним элементом обслуживания и ограниченной очередью

В такой системе обслуживания клиент не входит в нее, если очередь превышает некоторое значение, так как число мест ожидания ограниченно.

Пусть в системе могут быть максимум К клиентов, тогда в очереди находится лишь А'—1 клиент. Клиент, обнаруживший в очереди К— 1 клиента, не входит в систему. Такая система имеет нотацию Кендалла М / М /1/ К (рис. 16.8).

Система М/М//Кс одним элементом обслуживания и ограниченной очередью

Рис. 16.8. Система М/М//Кс одним элементом обслуживания и ограниченной очередью

Система М / М /1 / К может находиться в следующих состояниях (рис. 16.9):

  • 0 0 — обслуживающий элемент свободен;
  • 0 1 — обслуживающий элемент занят, в очереди никого нет;

О 2— обслуживающий элемент занят, в очереди находится 1 клиент;

0 1 +j — обслуживающий элемент занят, в очереди находятся j клиентов, 0< j < К-

О К— обслуживающий элемент занят, в очереди находятся К— 1 клиент, и 1 клиент находится в обслуживании.

Граф состояний системы М/М/Х/К

Рис. 16.9. Граф состояний системы М/М/Х/К

Поступающий клиент переводит систему в следующее по счету состояние. Если требование клиента удовлетворено, он покидает систему и она переходит в предыдущее состояние. Данное поведение может быть описано процессом рождения и гибели с конечным числом состояний. Входящий поток при этом будет перекрыт, когда система заполнится:

Интенсивность обслуживания не изменяется:

Анализ поведения системы обслуживания. Рассмотрим систему в стационарном состоянии. Так как в системе не может быть более ^клиентов, она стабильна при любых значениях X и р. Финальные вероятности удовлетворяют системе уравнений:

Выражая все финальные вероятности состояний через р0, получаем формулу для вычисления финальных вероятностей при л = 0,1,К:

Условие нормировки имеет вид

Финальная вероятность начального состояния, согласно (16.42) и (16.43), вычисляется по формуле

Сумма конечного ряда Следовательно,

При X — ц приведенная нагрузка у = 1 и, находя предел (16.44) при |/ —»1, получаем

Финальные вероятности других состояний вычисляются в соответствии с (16.42):

и

Когда в системе ^клиентов, вновь поступающие клиенты получают отказ в обслуживании и вынуждены покинуть систему. Поэтому вероятность отказа в обслуживании равна вероятности того, что в системе находится К клиентов:

Зависимость вероятности отказа в обслуживании от емкости накопителя при ц/ = 0,5 (кривая 7), 0,75 (2), 0,9 (3) и 0,95 (4)

Рис. 16.10. Зависимость вероятности отказа в обслуживании от емкости накопителя при ц/ = 0,5 (кривая 7), 0,75 (2), 0,9 (3) и 0,95 (4)

На рис. 16.10 приведены расчеты вероятности отказа Ртк как функции К при различных значениях приведенной нагрузки |/. При увеличении нагрузки вероятность отказа возрастает и уменьшается при увеличении емкости накопителя.

Вероятность того, что в системе есть место в очереди и клиент не покинет систему без обслуживания, вычисляется как

Интенсивность поступления клиентов в систему

будет меньше интенсивности прибытия клиентов X.

На рис. 16.11 показаны графики расчета интенсивности поступления клиентов в систему в зависимости от емкости системы К при различных значениях приведенной нагрузки у и Х = . Как видно, при увеличении нагрузки необходимо предусматривать больше мест ожидания для клиентов, чтобы обслужить всех поступающих клиентов.

Зависимость интенсивности поступления клиентов в систему от емкости накопителя при у = 0,5 (кривая /), 0,75 (2), 0,9 (J) и 0,95 (4)

Рис. 16.11. Зависимость интенсивности поступления клиентов в систему от емкости накопителя при у = 0,5 (кривая /), 0,75 (2), 0,9 (J) и 0,95 (4)

Интенсивность клиентов, не поступающих в систему (блокируемых), согласно свойству слияния пуассоновских потоков (14.27),

Найдем по формуле (15.4) среднее число клиентов в СМО М/М/Х/К:

Так как представим (16.51) в виде

Сумма в (16.52) представляет собой конечную геометрическую прогрессию:

Производная

Подставляя найденное значение в (16.52), получаем При |/ = 1

Рис. 16.12. Зависимость среднего числа клиентов от приведенной нагрузки при К= 10 (кривая /), 20 (2), 30 (3) и 40(4)

На рис. 16.12 показаны результаты расчета среднего числа клиентов в системе NcmT в зависимости от приведенной нагрузки у при различной емкости системы К. Как видно, при р = 1 среднее число клиентов в системе М / М /1/ К не увеличивается до бесконечности, как вМ/М//оо,а равно К/2. Более того, приведенная нагрузка на систему |/ может превышать 1.

Согласно формуле Литтла (15.7), среднее время пребывания клиента в системе:

Найдем среднее число клиентов_в очереди. Так как среднее число клиентов в системе известно, УУ легче вычислить как

Среднее число клиентов, находящихся в обслуживании, определяется вероятностью занятости элемента обслуживания

В данном случае Рзэо ^ А/й = так как интенсивность входного потока не равна А,, а равна а.

На рис. 16.13 показаны графики расчета среднего числа клиентов, находящихся в обслуживании, или, другими словами, коэффициента использования элемента обслуживания, или вероятности занятости элемента обслуживания. Как видно, для системы с ограниченной очередью коэффициент использования элемента обслуживания меньше, чем для системы с неограниченной очередью. С увеличением емкости накопителя увеличивается и коэффициент использования элемента обслуживания.

Так как среднее число клиентов в системе равно (16.53), а в обслуживании — (16.56), то

Рис. 16.13. Зависимость среднего числа клиентов, находящихся в обслуживании, от приведенной нагрузки при К= 1 (кривая У), 2 (2), 3 (J) и 10 (4)

По формуле Литтла (15.8) найдем среднее время пребывания клиента в очереди

Анализ поведения клиента. Граф перехода клиента из одних состояний в другие, соответствующие состояниям системы М / М /1/ К (см. рис. 16.9), показан на рис. 16.14.

Вычислим среднее время нахождения клиента в системе по графу поведения клиента. Для этого воспользуемся формулой (16.37).

Граф поведения клиента в системе М/М//Кс отказами

Рис. 16.14. Граф поведения клиента в системе М/М//Кс отказами

Клиент может попасть в систему только если не все К — 1 мест в очереди заняты, т.е. в системе меньше, чем К клиентов. Вероятность этого показана в (16.49). Следовательно, знаменатель (16.37)

Отсюда

Подставляя в (16.60) выражения для вероятностей состояний (16.46), получаем

Ряд

Производная произведения / на сумму ряда

Подставляя полученные значения в (16.61), окончательно получаем выражение для вычисления среднего времени, которое клиент проводит в системе:

Как и следовало ожидать, найденное с использованием графа выражение совпадает с (16.55).

Вычислим с помощью графа поведения клиента плотность распределения вероятности времени пребывания клиента в системе. Функция передачи графа из состояния С в состояние V

Как известно, сумма преобразований Лапласа равна преобразованию Лапласа суммы. По таблице преобразований находим, что

Подставив (16.63) в (16.62), получаем

При К —> эс выражение (16.64) совпадает с (16.28). На рис. 16.15 показаны графики расчета плотности вероятности времени пребывания клиента в системе М / М /1 / К для различных значений К. Как видно, при малых емкостях накопителя вероятность того, что клиент проведет меньше времени в системе, высокая. Это связано с тем, что число клиентов в очереди ограничивается емкостью накопителя т.е. повышается качество обслуживания клиентов, попавших в систему. Однако при этом возрастает число отказов в обслуживании. При увеличении емкости накопителя число отказов сокращается, но вероятность того, что клиент проведет больше времени в системе, увеличивается. На рис. 16.15 кривая 1 соответствует плотности вероятности для системы с бесконечной очередью. Как видно, с ростом емкости накопителя плотность вероятности времени пребывания клиента в системе с ограниченной очередью стремится к плотности вероятности системы с бесконечной очередью.

Плотность вероятности времени пребывания клиента в системе М/М//К при К= оо (кривая /), 2 (2), 5 (3), 10 (4) и 20 (5)

Рис. 16.15. Плотность вероятности времени пребывания клиента в системе М/М//К при К= оо (кривая /), 2 (2), 5 (3), 10 (4) и 20 (5)

Вычислим функцию распределения времени пребывания клиентов в системе по формуле

Интеграл под знаком суммы вычисляется как

Подставив (16.66) в (16.65), получим Так как

то (16.67) примет вид

Рис. 16.16. Функция распределения времени нахождения клиента в системе М/М/1/Кпри различных значениях емкости накопителя при К= оо (кривая /), 2 (2), 5 (J), 10 (4) и 20 (5)

На рис. 16.16 показаны графики функции распределения времени нахождения клиента в системе для различной емкости накопителя. Кривая 1 показывает функцию распределения при К = оо. Зная функцию распределения, можно определить число мест накопителя, которое бы обеспечило нахождение клиента в системе обслуживания не более заданного времени и с заданной вероятностью.

Рассчитаем дисперсию времени нахождения клиента в системе обслуживания М / М /1 / К с использованием графа поведения клиента (см. рис. 16.14).

Согласно (10.22), (10.29) и формуле (16.55), дисперсия

Используя известные значения конечных сумм получаем

Окончательно

Рис. 16.17. Зависимость дисперсии времени пребывания клиента в системе М/М//Кот приведенной нагрузки при различных значениях числа мест в накопителе: К= оо (кривая /), 5 (2), 10 (3), 20 (4), 50 (5)

На рис. 16.17 показаны графики расчета дисперсии времени пребывания клиентов в системе с ограниченной очередью в зависимости от нагрузки для различных значений предельного числа клиентов в системе. Как видно, чем меньше емкость системы (емкость накопителя), тем меньше дисперсия. При увеличении емкости накопителя дисперсия стремится к дисперсии системы с бесконечной очередью (кривая 1).

Для вычисления плотности распределения времени ожидания клиента в очереди найдем функцию передачи графа из состояния С до состояния 0:

Подставив (16.63) в (16.70), получим

При К^ оо выражение (16.71) совпадаете (16.35).

Функция распределения времени ожидания в очереди вычисляется как

Оптимизация системы обслуживания М / М /1/ К. В качестве оптимизируемого параметра выберем емкость накопителя К-1. Увеличение К приводит к дополнительным затратам средств, например на дополнительное помещение и соответствующую мебель. Кроме того, возрастает среднее время ожидания клиентов в очереди и, следовательно, стоимость потерь клиентов из-за ожидания.

Однако увеличение К уменьшает вероятность отказа в обслуживании и уменьшает потерю клиентов, следовательно, уменьшает стоимость потерь из-за отказа в обслуживании. Кроме того, увеличение ^приводит к повышению коэффициента использования элемента обслуживания, а значит, к уменьшению затрат на его содержание. Например, специалист работает интенсивнее за установленную зарплату и не надо нанимать второго.

Так как перечисленные затраты не связаны между собой, их можно сложить и образовать аддитивный критерий. На рис. 16.18 слева показаны факторы, приводящие к уменьшению затрат с ростом К, а справа — к росту затрат.

Критерий оптимизации системы М/М/Х/К Запишем отдельно составляющие, стоящие слева

Рис. 16.18. Критерий оптимизации системы М/М/Х/К Запишем отдельно составляющие, стоящие слева:

Составляющие, стоящие справа:

Значения весовых коэффициентов стоимости с,, с2, с3, с4 зависят от рассматриваемой системы обслуживания.

Оптимизация системы М/М/Х/К

Рис. 16.19. Оптимизация системы М/М/Х/К: кривая 1 — С, 2— С^, 3— С1 + С2; у = 0,95; ц = 1; С| = 100; С2 = 50; С3 = 1; с4 = 2

На рис. 16.19 показаны результаты оптимизации системы М / М /1 / К. Для заданных стоимостей оптимальным будет иметь 7 мест для ожидания.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>