Полная версия

Главная arrow Туризм arrow Основы функционирования систем сервиса

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

СЕРВИС С ОДНИМ ЭЛЕМЕНТОМ I О ОБСЛУЖИВАНИЯ

Сервис с одним элементом обслуживания и неограниченной очередью

Примеров систем с одним элементом обслуживания существует множество: один кассир продает билеты, один врач принимает пациентов и т.п. Если кассир или врач занят, то клиент становится в очередь. Мест ожидания достаточно, и очередь в принципе может возрастать неограниченно (рис. 16.1). Такая система имеет нотацию Кендалла М / М /1 / оо.

Система Л//А//1 /оо с одним элементом обслуживания и неограниченной очередью

Рис. 16.1. Система Л//А//1 /оо с одним элементом обслуживания и неограниченной очередью

Пусть число клиентов, прибывших в произвольный интервал времени длительностью [О, Г], распределено по закону Пуассона:

т.е. поток клиентов поступает с экспоненциально распределенным интервалом между клиентами с интенсивностью X. Время обслуживания также имеет экспоненциальное распределение с параметром |Д.

Так как интервалы между событиями, число которых распределено по пуассоновскому закону, экспоненциально распределены, то среднее значение интервала времени между прибытиями клиентов Гпр обратно пропорционально интенсивности прибытия Тпр = 1/Х. Среднее время обслуживания Гобс обратно пропорционально интенсивности обслуживания Тобс = 1/ц. Приведенная нагрузка на систему вычисляется как [9, 18]

Анализ поведения системы. Система М / М / 1/оо может находиться в следующих состояниях:

О 0 — обслуживающий элемент свободен;

О 1 — обслуживающий элемент занят, в очереди никого нет;

О 2 — обслуживающий элемент занят, в очереди находится один клиент, и т.д.;

О 1+q — состояние, которое показывает, что обслуживающий элемент занят и в очереди находятся q клиентов, 0 < q < оо.

Граф состояний системы обслуживания типа М/М/1

Рис. 16.2. Граф состояний системы обслуживания типа М/М/1

В графе на рис. 16.2 вершины обозначают состояние системы, а интенсивность перехода показана над соответствующими дугами. Поступающий клиент переводит систему в следующее по счету состояние. Если клиент обслужен, он покидает систему, которая переходит в предыдущее состояние. Данное поведение описывается процессом рождения и гибели с бесконечным числом состояний.

Рассмотрим систему в стационарном состоянии. Известно, что если у < 1, то стационарное состояние существует. Порождающая такой процесс рождения и гибели матрица имеет вид [42]:

Так как в стационарном состоянии pQ = 0, запишем следующую систему уравнений:

Аналогичную систему уравнений можно сразу записать по графу, приведенному на рис. 16.2, используя свойство глобального баланса (13.19).

Таким образом, финальные вероятностиудовлетворяют системе уравнений:

Используя свойство локального баланса (13.38) и разрезы графа, запишем систему как:

Из (16.3), выражая постепенно все вероятности состояний через р0, получим выражение для вычисления финальных вероятностей состояний для любого п:

Для финальных вероятностей состояний должно выполняться условие нормировки:

С учетом условия нормировки и (16.4) финальная вероятность начального состояния

Если у < 1, то ряд сходится:

Отсюда

Используя (16.7), выразим финальные вероятности других состояний:

Номер состояния показывает число клиентов в системе. Как видно из (16.8), число клиентов в системе обслуживания NCHCT имеет геометрическое распределение (11.20).

Вероятность того, что случайная величина NCHCT превзойдет какое-то значение п, вычислим по формуле

Данная функция называется функцией надежности или дополнительным распределением числа клиентов в системе.

Графики на рис. 16.3 показывают рп — вероятность того, что в системе будет п клиентов для различных значений приведенной нагрузки |/. Как видно, с увеличением |/ при заданной вероятности число клиентов в системе возрастает. В частности, вероятность того, что в системе есть хотя бы один клиент, согласно (16.9),

Эта вероятность равна Роч — вероятности задержки в обслуживании, или вероятности того, что пришедший клиент застанет элемент обслуживания занятым и встанет в очередь.

1 !

Вероятность наличия в системе более чем п клиентов для значений приведенной нагрузки у = 0,5 (кривая /), 0,75 (2), 0,9 (2)

Рис. 16.3. Вероятность наличия в системе более чем п клиентов для значений приведенной нагрузки у = 0,5 (кривая /), 0,75 (2), 0,9 (2)

и 0,95 (4)

Для систем сервиса важно, чтобы не было очереди. Очереди не будет, когда в системе нет клиентов или один клиент находится на обслуживании. Вероятность этого состояния

т.е. вероятность того, что в системе ноль клиентов находятся в очереди

При заданной вероятности отсутствия очереди Р0 оч можно вычислить допустимую нагрузку на систему обслуживания, в которой отсутствует очередь

Найдем по формуле (15.4) среднее число клиентов в СМО

Так как , выражение (16.12) принимает вид

Сумма в (16.13) представляет собой убывающую геометрическую прогрессию, которая при у < 1 сходится:

Производная от суммы ряда равна 1/(1 - у2).

Подставляя найденное значение в (16.13), получаем

Аналогично находим дисперсию числа клиентов в системе:

Рис. 16.4. Изменение среднего числа клиентов в системе в зависимости от приведенной нагрузки

На рис. 16.4 показан график изменения среднего числа клиентов в системе в зависимости от vj/. При |/—> 1 система стремится к нестабильности и среднее число клиентов возрастает до бесконечности.

Используя (16.14), вычислим по формуле Литтла (15.7) среднее время пребывания клиента в системе:

Данное выражение можно найти непосредственно без знания закона Литтла. Так как клиенты в системе обслуживаются в течение среднего времени 1/р, среднее время нахождения клиента в системе, включая время обслуживания,

т.е. среднее время нахождения клиента в системе складывается из времени ожидания в очереди и времени обслуживания.

Дисперсия времени нахождения клиента в системе

Очередь возникает тогда, когда число клиентов в системе превышает число элементов обслуживания. Следовательно, для вычисления среднего числа клиентов в очереди необходимо найти математическое ожидание числа клиентов, которые поступили после занятия элемента обслуживания:

Так как ,то

Если известно среднее число клиентов в системе NCHCT, то среднее число клиентов в очереди легче вычислить как

Среднее число клиентов, находящихся в обслуживании УУо6с, определяется вероятностью занятия элемента обслуживания

которая также показывает, что в системе имеется хотя бы один клиент. Следовательно, среднее число клиентов, находящихся в обслуживании в системе М / М /1 / эо,

Таким образом, приведенная нагрузка системы равна вероятности занятия элемента обслуживания, среднему числу клиентов, находящихся в обслуживании, и тем самым непосредственно характеризует интенсивность использования системы М / М /1 / ос.

Подставив (16.14) и (16.21) в (16.19), получим, что

Дисперсия числа клиентов в очереди вычисляется по формуле

По формуле Литтла (15.8) найдем среднее время пребывания клиента в очереди:

В рассматриваемой системе интенсивности поступления клиентов в очередь и систему равны Х=Х .

Если известно среднее время пребывания клиента в системе (16.16), то среднее время пребывания клиента в очереди:

Дисперсия времени пребывания клиента в очереди вычисляется как

В системе М / М /1 / эс проходящая нагрузка равна приходящей, так как все клиенты получают обслуживание. В связи с этим рассмотрим теорему Бурке [49], устанавливающую свойства выходного потока.

Теорема Бурке. В состоянии равновесия последовательность интервалов времени между выходами клиентов из системы М / М /1 / эс независима и одинаково распределена по экспоненциальному закону с параметром, равным параметру поступающего потока клиентов. Другими словами, процесс выхода клиентов из системы М / М / 1/эс имеет интенсивность X и является процессом Пуассона с параметром X. При этом, наблюдая выходной процесс, нельзя установить число клиентов в системе и определить время их обслуживания.

Для нахождения распределения времени между двумя вышедшими из системы клиентами возьмем произвольного выходящего клиента. Вероятность того, что клиент покидает систему и она остается свободной, р0 =1 —у. Тогда время до следующего выхода клиента составит сумму экспоненциально распределенного интервала времени прибытия со средним значением АГ1 и экспоненциально распределенного времени обслуживания со средним значением ц-1 . Распределение суммы случайных величин легко найти с использованием преобразования Лапласа. Согласно (10.47), преобразования Лапласа времени прибытия и времени обслуживания имеют вид

Преобразование Лапласа суммы в соответствии с (10Л 0)

Взяв обратное преобразование Лапласа, получим распределение суммы:

Если система не останется свободной после выхода клиента, то следующий выход состоится в среднем через экспоненциально распределенное время обслуживания с параметром ц. Следовательно, плотность вероятности времени до следующего выхода клиента

Как видно, время между выходами клиентов экспоненциально распределено со средним значением АГ1. Можно показать, что интервалы независимы. Отсюда заключаем, что выходной поток системы М/ М/1 / ос является пуассоновским.

Для более полного описания системы обслуживания надо знать распределения вероятности характеристик системы. Найдем плотность распределения времени нахождения клиента в системе М / М / 1/оо.

Время, которое клиент проводит в системе, состоит из времени ожидания в очереди и времени обслуживания клиента. Если в системе находится N+ 1 клиент, то общее время обслуживания будет равно сумме случайных длительностей обслуживания с экспоненциальным распределением и параметром ц:

Ранее было установлено, что число клиентов в системе имеет геометрическое распределение (16.8) и может изменяться от нуля до бесконечности. Плотность распределения случайной величины Гсист рассчитывается по формуле

где fTN (t,n) — плотность распределения Гсист для известного значения N. Данная плотность распределения известна и представляет распределение Эрланга (п + 1)-го порядка (14.40):

Следовательно, (16.26) с учетом (16.8) и (16.27) принимает вид

Таким образом, время нахождения клиента в системе экспоненциально распределено с параметром ц(1-|/) = ц-X. Математическое ожидание (16.16) и дисперсия времени (16.17) получаются из известных характеристик экспоненциального распределения. Функция распределения времени нахождения клиента в системе

Аналогичный результат получается с помощью преобразования Лапласа экспоненциального распределения (10.47) и производящей функции геометрического распределения (11.23):

Согласно (11.13),

Полученное преобразование Лапласа соответствует экспоненциальной функции (16.28).

Вычислим распределения времени ожидания в очереди при числе клиентов в системе N+ 1. Это время соответствует случайной сумме 7V экспоненциально распределенных случайных величин:

Число клиентов в очереди случайно и имеет геометрическое распределение. Функцию распределения времени ожидания клиента в очереди легко вычислить, зная функцию распределения времени нахождения клиента в системе (16.29). Дополнительная функция распределения 1 — FT (t) представляет собой вероят- ность:

Первый член суммы равен нулю, так как очередь отсутствует. Согласно (16.9), P{N > 0} = 1- pQ = vp. Поскольку геометрическое распределение не имеет памяти, сумма (16.33) распределена так же, как (16.25), т.е., согласно (16.29),

и

Соответствующая плотность распределения

Аналогичный результат можно получить с помощью преобразования Лапласа. Так как , то ;

. С учетом этого и используя (16.32), получаем

Обратное преобразование Лапласа (16.36) равно функции (16.35).

Зависимость вероятности того, что время нахождения клиентов в очереди будет меньше или равно заданному времени при р = 2,1 (кривая /); 2,5 (2); 3 (3)

Рис. 16.5. Зависимость вероятности того, что время нахождения клиентов в очереди будет меньше или равно заданному времени при р = 2,1 (кривая /); 2,5 (2); 3 (3)

Используя (16.34), можно рассчитать длительность ожидания в очереди для заданной вероятности или вероятность того, что время ожидания не превысит заданных значений. Полученные результаты совместно с формулой Литтла (15.8) используются для вычисления числа клиентов в очереди при заданной вероятности или вероятности того, что число клиентов в очереди будет меньше или равно заданному числу. График функции распределения времени ожидания в очереди при различных значениях ц и А, = 2 показан на рис. 16.6.

Каквидно из графика и формулы (16.34), для / = 0 При увеличении интенсивности обслуживания р вероятность того, что время ожидания в очереди будет меньше заданного, возрастает.

Анализ поведения клиента. При анализе системы сервиса часто не достаточно рассмотреть поведение системы. Особое внимание необходимо уделять поведению клиента. Рассмотрим технологию описания такого поведения для системы М / М /1 / сю с использованием сигнальных графов.

Граф перехода клиента в различные состояния в процессе обслуживания с бесконечной очередью

Рис. 16.6. Граф перехода клиента в различные состояния в процессе обслуживания с бесконечной очередью

Пусть задан граф поведения клиента для системы с одним элементом обслуживания и бесконечной очередью (рис. 16.6). Согласно свойству PASTA, при пуассоновском потоке прибывший клиент не изменяет статистические характеристики системы, хотя изменяет ее состояние, и наблюдает систему в стационарном состоянии. Поэтому клиент может попасть в соответствующее состояние с вероятностью, определяемой вероятностью состояния системы обслуживания.

Начиная с некоторого начального состояния С с вероятностью р{] клиент придет в систему и обнаружит элемент обслуживания свободным. В этом случае клиент сразу становится на обслуживание и через время 1/р покидает систему. С вероятностью р] клиент придет в систему и обнаружит элемент обслуживания занятым, но в очереди никого не будет и он станет первым в ожидании обслуживания. С вероятностью р2 клиент, придя в систему, обнаружит элемент обслуживания занятым и будет вторым в очереди, и т.д.

Вычислим среднее время нахождения клиента в системе по графу состояний клиента (см. рис. 16.6), для чего воспользуемся формулой (10.39), полученной в §10.4 из формулы Мэзона.

В рассматриваемом графе нет контуров, поэтому (10.39) примет вид:

Согласно условию нормировки (16.5),

Следовательно, среднее время обслуживания клиента (его пребывания в системе) можно вычислить по графу:

Подставляя значения вероятностей (16.8) в (16.38), получаем Так как , то

что, естественно, соответствует полученному ранее времени нахождения клиента в системе (16.16). Преимущество описанного подхода заключается лишь в большей наглядности представления поведения клиента. Однако использование данной методики позволит учитывать предпочтения клиента и возможность использоа- ния более сложного алгоритма обслуживания.

Вычислим с использованием графа плотность распределения времени пребывания клиента в системе. Преобразование Лапласа экспоненциального распределения с параметром ц имеет вид:

Функция передачи графа из состояния С в состояние V

Как видно, передаточная функция (16.39) равна преобразованию Лапласа (16.32). По таблице обратное преобразование Лапласа (16.39) соответствует функции /(/) = ц(1- р)е_м (1_Х|/ , являющейся плотностью распределения времени пребывания клиента в системе (16.28).

Для вычисления плотности распределения времени ожидания клиента в очереди найдем функцию передачи графа от состояния С до состояния 0:

Как видно, функция передачи (16.40) равна преобразованию Лапласа (16.36). Из (16.40), используя обратное преобразование Лапласа, получим функцию распределения (16.34) и плотность распределения (16.35).

В рассмотренных примерах мы получили тот же результат для иллюстрации методики. Данная методика может использоваться для получения распределений при более сложных алгоритмах обслуживания.

Оптимизация системы обслуживания М / М / 1/оо. Так как элемент обслуживания один, для улучшения функционирования системы при заданной интенсивности поступления клиентов А, необходимо уменьшить время обслуживания, т.е. увеличить интенсивность обслуживания ц. Однако увеличение интенсивности связано с повышением затрат, например с наймом более квалифицированного специалиста или оборудованием рабочего места более производительными инструментами. Уменьшение же интенсивности обслуживания ведет к увеличению среднего времени ожидания клиентов в очереди и в конце концов к потере клиентов. Стоимость потерь оценим по формуле (15.9). Подставим в (15.9) значения

для системы М/М/ 1/оои получим

Стоимость затрат на увеличение интенсивности обслуживания положим С3 =С|Д.

Оптимизация системы М/М/ 1/

Рис. 16.7. Оптимизация системы М/М/ 1/<ю

На рис. 16.7 показаны расчеты стоимости ожидания МСи затрат С3 (кривая 3) на улучшение функционирования системы в зависимости от р для X = 1 (кривая 1) и X = 0,9 (кривая 2). Предполагалось, что с = 1 для расчета стоимости ожидания в очереди и с = 10 для расчета затрат на увеличение р. На графиках показаны оптимальные значения р для рассмотренных случаев.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>