Полная версия

Главная arrow Туризм arrow Основы функционирования систем сервиса

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ОПИСАНИЕ СИСТЕМ СЕРВИСА I ДИСКРЕТНЫМИ ВЕРОЯТНОСТНЫМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ

Производящая функция

Многие случайные величины в теории систем массового сервиса принимают только целочисленные значения п = 0, 1,2,..., например число клиентов в системе сервиса, число этапов или стадий обслуживания и т.д. Для вычисления характеристик дискретных распределений удобно использовать производящую функцию.

Пусть X— неотрицательная, принимающая лишь целые значения, случайная величина с распределением вероятности рп, где

Производящая функция для дискретных распределений вероятностей имеет вид

где Е(г*) — математическое ожидание случайной величины zx, рп — коэффициент при zn, соответствующий вероятности принятия случайной величиной значения zn; Ф* (г) сходится при | z < L

Так как рп является распределением вероятностей, то

Вероятности любых значений можно вычислить с использованием производящей функции

Так как производящая функция распределений вероятностей случайной величины Xсодержит распределение рп, то она содержит информацию обо всех моментах распределения, которые вычисляются по формуле

где хп — значения, которые может принимать случайная переменная X.

В терминах моментов среднее значение и дисперсия вычисляются как

По определению, среднее значение дискретной случайной величины X, принимающей значения 0,1,2,..., вычисляется по формуле

Так как

то при z = 1 получим

и соответственно

Аналогично можно показать:

Начальный момент второго порядка находится по (11.5)

Следовательно,

откуда

Другие моменты можно вычислить по формуле где

Производящая функция вероятности находит применение при анализе суммы независимых случайных величин.

Пусть Х=Хх + Х2, где Х1иХ2 независимые, неотрицательные, принимающие целые значения случайные величины. Предположим, что Х} и Х2 имеют производящие функции (z) и ФХг (г).

Используя определение производящей функции (11.1) и свойство независимости случайных величин, получим

В общем случае производящая функция суммы N взаимно независимых случайных величин равна произведению их производящих функций:

Распределение суммы Р(Х =п), я = 0,1, 2,..., можно также вычислить как свертку (композицию) соответствующих распределений:

Произведение производящих функций можно представить как произведение многочленов:

Если Х=Хх + Х2 имеет производящую функцию то из (11.10), (11.11) получим:

т.е. производящая функция свертки распределений вероятности дискретных случайных величин равна произведению соответствующих производящих функций распределений этих величин.

Таким образом, используя производящие функции распределений, легко вычислить моменты распределений вероятностей и распределение суммы случайных величин.

Рассмотрим случайную сумму независимых величин, принимающих непрерывные значения: Y = Хх н-----N .

Распределение суммы случайного числа независимых случайных переменных называется составным распределением.

Пусть непрерывные переменные Xi9i = 1, N, имеют преобразование Лапласа распределений (5), а дискретная переменная N имеет производящую функцию распределения Фд, (z). Тогда

Рассмотрим случайную сумму независимых дискретных величин Y = Хх------N Пусть дискретные переменные Xt, i = 1, N,

имеют производящую функцию Ф^), а дискретная переменная N— производящую функцию Фдг (z)• Тогда

Таким образом, зная производящие функции случайных величин, входящих в случайную сумму этих величин, и производящую функцию числа этих величин, можно вычислить производящую функцию случайной суммы. При сложном поведении систем сервиса для вычисления статистических характеристик удобно использовать сигнальные графы.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>