Полная версия

Главная arrow Туризм arrow Основы функционирования систем сервиса

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Типовые непрерывные распределения случайных величин

Равномерное распределение. Случайная величина X имеет смысл координаты точки, выбранной наудачу на отрезке

[а, Ь. Равномерную плотность распределения случайной величины X(рис. 10.5, а) можно определить как:

Рис. 10.5. Равномерное распределение случайной величины: а — плотность распределения; б — функция распределения

Функция распределения случайной величины X имеет вид:

График функции равномерного распределения показан на рис. 10.5, б.

Преобразование Лапласа равномерного распределения вычислим по (10.3):

Математическое ожидание и дисперсия легко вычисляются непосредственно из соответствующих определений:

Аналогичные формулы для математического ожидания и дисперсии можно также получить с использованием преобразования Лапласа по формулам (10.8), (10.9).

Рассмотрим пример системы сервиса, которую можно описать равномерным распределением.

Движение транспорта на перекрестке регулируется автоматическим светофором, в котором 1 мин горит зеленый свет и 0,5 мин — красный. Водители подъезжают к перекрестку в случайные моменты времени с равномерным распределением, не связанным с работой светофора. Найдем вероятность того, что автомобиль проедет перекресток, не останавливаясь.

Момент проезда автомобиля через перекресток распределен равномерно в интервале 1 + 0,5 = 1,5 мин. Автомобиль проедет через перекресток, не останавливаясь, если момент проезда перекрестка попадает в интервал времени [0; 1]. Для равномерно распределенной случайной величины в интервале [0; 1,5] вероятность попадания в интервал [0; 1] равна 1/1,5=2/3. Время ожидания Гож есть смешанная случайная величина. С вероятностью 2/3 она равна нулю, а с вероятностью 0,5/1,5 принимает любое значение между 0 и 0,5 мин. Следовательно, среднее время и дисперсия ожидания у перекрестка

Экспоненциальное (показательное) распределение. Для экспоненциального распределения плотность распределения случайной величины можно записать как:

где А называют параметром распределения.

График плотности вероятности экспоненциального распределения дан на рис. 10.6, а.

Функция распределения случайной величины с экспоненциальным распределением имеет вид

Л(*)| Т/х)

а б

Рис. 10.6. Экспоненциальное распределение случайной величины: а — плотность распределения; б — функция распределения

График функции экспоненциального распределения показан на рис. 10.6, 6.

Преобразование Лапласа экспоненциального распределения вычислим по (10.3):

Покажем, что для случайной величины X, имеющей экспоненциальное распределение, математическое ожидание равно среднеквадратическому отклонению а и обратно параметру А,:

Таким образом, для экспоненциального распределения имеем: Можно также показать, что

т.е. экспоненциальное распределение полностью характеризуется средним значением или параметром X .

Экспоненциальное распределение обладает рядом полезных свойств, которые используются при моделировании систем сервиса. Например, оно не имеет памяти. Когда , то

или

Другими словами, если случайная величина соответствует времени, то распределение оставшейся длительности не зависит от времени, которое уже прошло. Данное свойство иллюстрирует рис. 10.7.

Иллюстрация свойства отсутствия памяти для экспоненциального распределения

Рис. 10.7. Иллюстрация свойства отсутствия памяти для экспоненциального распределения

Рассмотрим пример системы, параметры функционирования которой можно описать экспоненциальным распределением.

При работе некоторого прибора в случайные моменты времени возникают неисправности. Время работы прибора Т от его включения до возникновения неисправности распределено по экспоненциальному закону с параметром X. При обнаружении неисправности прибор сразу поступает в ремонт, который продолжается время /0. Найдем плотность и функцию распределения промежутка времени Г, между двумя соседними неисправностями, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что время Тх будет больше 2t0.

Так как ,то

Нормальное распределение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

Из (10.48) следует, что нормальное распределение определяется двумя параметрами — математическим ожиданием т и дисперсией а2. График плотности вероятности случайной величины с нормальным распределением при т=0, а2 =1 показан на рис. 10.8, а.

Нормальный закон распределения случайной величины при т = 0, ст = 1

Рис. 10.8. Нормальный закон распределения случайной величины при т = 0, ст2 = 1: а — плотность вероятности; 6 — функция распределения

Функция распределения описывается формулой

График функции распределения вероятности нормально распределенной случайной величины при т = 0, а2 = 1 показан на рис. 10.8, б.

Определим вероятность того, что Xпримет значение, принадлежащее интервалу (а, р):

где — функция Лапласа, и вероятность того,

что абсолютное значение отклонения меньше положительного числа 6:

В частности, при т = 0 справедливо равенство:

Как видно, случайная величина с нормальным распределением может принимать как положительные значения, так и отрицательные. Поэтому для вычисления моментов необходимо использовать двустороннее преобразование Лапласа

Однако этот интеграл не обязательно существует. Если он существует, вместо (10.50) обычно используют выражение

которое называют характеристической функцией или производящей функцией моментов.

Вычислим по формуле (10.51) производящую функцию моментов нормального распределения:

После преобразования числителя подэкспоненциального выражения к виду получим

Интеграл

так как является интегралом нормальной плотности вероятности с параметрами т + so2 и а2. Следовательно,

Дифференцируя (10.52), получим

Из данных выражений можно найти моменты:

Нормальное распределение широко распространено на практике, так как, согласно центральной предельной теореме, если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

Рассмотрим пример системы, параметры которой можно описать нормальным распределением.

Предприятие изготовляет деталь заданного размера. Качество детали оценивается путем измерения ее размера. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением а — Юмкм. Найдем вероятность того, что ошибка измерения не будет превышать 15 мкм.

По (10.49) находим

Для удобства использования рассмотренных распределений сведем полученные формулы в табл. 10.1 и 10.2.

Таблица 10.1. Основные характеристики непрерывных распределений

Распределение

Плотность

Диапазон

Параметры

/771

*1

г2 _ Gx СХ--J

/77,

Равномерное

(1 /(Ь-а), х е [а,Ь] 0, xg[a,b.

X € [а,Ь]

а,Ь

Ь + а 2

  • (Ь-а)2
  • 12

Ь-а 3 (Ь + а)

Экспоненциальное

0, если х < 0; Хе_Хх, если х > 0,

[0,оо]

X

1

X

1

X2

1

Нормальное

  • (.х-т)2
  • 1 е 2°2 стл/2 л

[—оо,оо]

/77, а

/77

а2

/77 2

Таблица 10.2. Производящие функции непрерывных распределений

Распределение

Преобразование Лапласа и производящая функция

Равномерное

Ф(5)- 1 Ге-“ - Q~sh 1 (b-a)s( J

Экспоненциальное

w , X

Ф(5)=--

X+ s

Нормальное

G(s)=exp /775+ 52CT2/2j

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

  • 1. Какие распределения вероятностей относят к непрерывным?
  • 2. Что такое преобразование Лапласа—Стилтьеса? Для чего оно используется?
  • 3. Как вычислить моменты случайных величин с использованием преобразования Лапласа—Стилтьеса?
  • 4. Чему равно преобразование Лапласа суммы независимых случайных величин?
  • 5. Как вычислить среднее время и дисперсию времени перехода системы из одного состояния в другое с использованием сигнальных графов?
  • 6. Дайте основные характеристики равномерного распределения. Приведите примеры его использования в задачах сервиса.
  • 7. Дайте основные характеристики экспоненциального распределения. Приведите примеры его использования в задачах сервиса.
  • 8. Дайте основные характеристики нормального распределения. Приведите примеры его использования в задачах сервиса.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>