Полная версия

Главная arrow Туризм arrow Основы функционирования систем сервиса

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Преобразование Лапласа

Многие системы, образующие или преобразующие сигналы, описываются дифференциальными уравнениями. Для их решения удобно использовать операторные методы. Основным понятием операционного исчисления является преобразование Лапласа. Одностороннее преобразование Лапласа ставит в соответствие функции x(t), определенной при t> 0 и называемой оригиналом, функцию X(s), называемую изображением и вычисляемую как [12]

где

Часто переход от оригинала к изображению обозначается

где L — условное обозначение оператора Лапласа.

Если известно, о каком преобразовании идет речь, то его просто обозначают

Переход от изображения к оригиналу обозначается как

Прямое и обратное преобразования записывают также как

С помощью преобразования Лапласа линейное дифференциальное уравнение можно преобразовать в линейное алгебраическое уравнение, решение которого существенно проще [12].

Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

Требуется найти его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Предполагается, что функция y(t) и искомое решение удовлетворяют условиям существования изображения по Лапласу. Чтобы найти решение уравнения (5.38), применим к его обеим частям преобразование Лапласа.

Обозначим полученные изображения x(t) и y(t) соответственно через Д$) и Y(s).

В силу линейности преобразования Лапласа, придем к следующему выражению:

где — характеристический многочлен для линейного уравнения, а

— начальные условия.

Отношение изображения выходной последовательности к изображению входной называется передаточной функцией линейной системы или системной функцией:

Уравнение (5.39) называют операторным уравнением. Его решение относительно X(s) называют операторным решением:

При нулевых начальных условиях g(s) = 0 уравнение (5.41) приобретает вид:

Если известна передаточная функция

то изображение выходной функции можно получить путем умножения изображения входной функции на передаточную функцию

Граф передаточной функции

Рис. 5.22. Граф передаточной функции

Графическое изображение такого преобразования показано на рис. 5.22.

Упрощенный граф передаточной функции

Рис. 5.23. Упрощенный граф передаточной функции

Однако обычно переменную s опускают и используют изображение, показанное на рис. 5.23, полагая, что х{ и х2 — преобразования Лапласа функций времени, a F2i — функция передачи.

Множество подобных преобразований можно представить в виде системы линейных уравнений типа (5.16), (5.31) или в виде графа Коутса или Мэзона. Для упрощения вычисления прямых и обратных преобразований Лапласа используют таблицы или соответствующие команды математических пакетов, например MathCad, MatLab.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

  • 1. Объясните представление схемы передачи сигнала с помощью графа.
  • 2. Какие операторы преобразования сигналов наиболее часто используются? Какими свойствами они обладают?
  • 3. Приведите основные формулы преобразования сигнальных графов.
  • 4. Какую функцию передачи имеет петля?
  • 5. Как представить квадратную матрицу графом?
  • 6. Как вычислить определитель матрицы по ее графу?
  • 7. Как из системы линейных уравнений образовать граф Коутса?
  • 8. Как вычислить по графу Коутса передаточную функцию?
  • 9. Как из системы линейных уравнений образовать граф Мэзона?
  • 10. Как вычислить по графу Мэзона передаточную функцию?
  • 11. Как записать систему линейных уравнений по графу Мэзона?
  • 12. Как перейти от графа Мэзона к графу Коутса и наоборот?
  • 13. Как с помощью графов представить систему линейных дифференциальных уравнений?
  • 14. Что такое передаточная функция линейной системы?
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>