Полная версия

Главная arrow Статистика arrow Статистика предприятий отрасли

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Статистические методы выявления корреляционной связи между двумя количественными признаками

Примером стохастической связи является корреляционная (регрессионная) связь.

Регрессионный анализ позволяет осуществлять прогнозирование будущих результатов и применяется в том случае, если признаки количественные.Он включает в себя определение аналитического выражения связи и измерение тесноты связи.

По форме аналитического выражения связи выделяются:

® линейная регрессия вида (рис. 1.12):

Рис. 1.12. График прямой линии

® нелинейная регрессия вила:

• парабола (рис. 1.13) —

Графики парабол

Рис. 1.13. Графики парабол

• гипербола —

• гипербола логарифмическая (рис. 1.14) —

График гиперболы

Рис. 1.14. График гиперболы

• логарифмическая (рис. 1.15) —

Рис. 1.15. График логарифмической зависимости

• показательная (рис. 1.16) — и другие.

Рис. 1.16. График показательной зависимости

При логарифмической зависимости логарифмы могут быть как десятичные, так и натуральные.

Выбор вида зависимости проводится по графику. Для этого на графике необходимо провести линию через облако точек таким образом, чтобы над линией и под ней было одинаковое количество точек. Для нахождения параметров корреляционного уравнения составляется и решается система нормальных уравнений.

Для измерения тесноты связи при линейной зависимости используется коэффициент корреляции

Для оценки тесноты связи при нелинейной зависимости применяется корреляционное отношение

где

Количественные критерии оценки тесноты связи представлены в табл. 1.8.

Критерии оценки тесноты связи

Таблица 1.8

Модуль величины коэффициента корреляции или корреляционного отношения

Характер связи

До 0,3

Практически отсутствует

0,3-0,5

Слабая

0,5-0,7

Умеренная

0,7-1,0

Сильная

Пример 1.26

На основании приведенных данных провести исследование взаимосвязи между признаками, где у — результативный признак, х — факторный. Определить аналитическое выражение связи и проверить его на достоверность.

X

10

8

3

5

6

5

3

2

7

1

У

100

50

40

40

50

60

20

20

80

15

Решение

Строим эмпирический график и на его основании предполагаем линейную зависимость изменения признака у от изменения признака х. Для решения задачи строим корреляционную таблицу.

У

4^

X

х{

0-20

20-40

40-60

60-80

80-100

fx

У,

*if

x?f

yxf

Y

Уг

1

10

30

50

70

90

0-2

1

2

2

10

2

2

20

5,5

40

2-4

3

1

1

2

20

6

18

120

24,6

42

4-6

5

1

2

3

43

15

75

650

48,8

101

6-8

7

1

1

2

60

14

98

840

63,0

18

8-10

9

1

1

90

9

81

810

82,5

56

Л

3

2

3

1

1

10

-

46

274

2440

-

257

yf

30

60

150

70

90

400

y2f

300

1800

7500

4900

8100

22 600

Первичная информация проверяется на однородность признака по коэффициенту вариации. Для расчета коэффициентов определяем средние величины и среднеквадратические отклонения:

Так как коэффициенты вариации больше 34 %, то признаки не однородны в своих рядах.

Для определения параметров линейного уравнения составляем и решаем систему уравнений:

Следовательно, уравнение имеет вид Yx = -4,16 + 9,6х. Изображаем эмпирический и теоретический графики на рис. 1,17.

Графики зависимостей
 Параметр b можно определять по формуле

Рис. 1.17. Графики зависимостей Параметр b можно определять по формуле

Коэффициент корреляции, рассчитанный в условных значениях, равен коэффициенту корреляции в действительных значениях:

Так как коэффициент корреляции близок к единице, то прямолинейная связь между признаками тесная (существенная).

Выше рассмотрен регрессионный анализ между двумя признаками. Но обычно результативный признак изменяется под действием нескольких признаков. Изучение связи между тремя и более признаками называется множественной или многофакторной регрессией.

Пример 1.27

На основании приведенных данных провести исследование взаимосвязи между признаками, где у — результативный признак, х — факторный. Определить аналитическое выражение связи и проверить его на достоверность.

У

10-20

20-30

30-40

40-50

50-60

L

X

/

x2

Ml

X

'*?5

Ух

15

25

35

45

55

fx

Ух

Ух

|

У

Г

0

1

2

3

4

Xi

1

5

3

2

7

17

39

17

17

40

38

17

2

2

3

5

21

2,5

1,25

1,5

23

20

3

2

2

15

0,7

0,23

0

18

18

4

3

3

15

0,75

0,19

0

15

0

5

8

8

15

1,6

0,32

0

14

8

fy

20

3

3

2

7

35

-

22,55

19

41,5

-

63

yf

0

3

6

6

28

43

y2f

0

3

12

18

112

145

Решение

Определим Y{ по формуле средней арифметической взвешенной по каждой строчке:

Строим график (рис. 1.18).

График взаимосвязи между признаками Предполагаем вид корреляционной зависимости — гипербола

Рис. 1.18. График взаимосвязи между признаками Предполагаем вид корреляционной зависимости — гипербола:

Система уравнений для определения параметров а и Ь:

Таким образом, уравнение зависимости имеет вид Преобразуем уравнение из условных значений в действительные: Подставляем в полученное уравнение значения х:

Наносим полученные значения на график (рис. 1.19).

Эмпирическая и теоретическая зависимости

Рис. 1.19. Эмпирическая и теоретическая зависимости

Определяем:

Следовательно, теснота связи

Таким образом, связь между признаками существенная.

• • • • •

Пример 1.28

На основании приведенных данных провести исследование взаимосвязи между признаками, где у — результативный признак, х — факторный. Определить аналитическое выражение связи и проверить его на достоверность.

X

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

У

20

30

56

79

88

92

90

92

90

93

log у

1,3

1,48

1,75

1,9

1,94

1,96

1,95

1,96

1,95

1,97

Решение

Строим график зависимости признаков (рис. 1.20).

График зависимости признаков

Рис. 1.20. График зависимости признаков

Предполагаем логарифмическую зависимость Логарифмируем значения у в таблице исходных данных.

п/п

X

У

lg У

Ух

х2

lg Утеор

Укор

1

11

20

1,30

14,30

121

1,51

32

2

12

30

1,48

17,73

144

1,58

38

3

13

56

1,75

22,73

169

1,64

44

4

14

79

1,90

26,57

196

1,71

54

5

15

88

1,94

29,17

225

1,78

61

6

16

92

1,96

31,42

256

1,85

72

7

17

90

1,95

33,22

289

1,92

83

8

18

92

1,96

35,35

324

1,99

97

9

19

90

1,95

37,13

361

2,06

115

10

20

93

1,97

39,40

400

2,13

134

I

155

730

18,16

287,02

2485

18,17

730

Для удобства расчетов обозначим lgу через Y. Тогда уравнение примет вид

Решается такое уравнение аналогично линейной зависимости:

Следовательно,

Подставляем в уравнение значения признака х и получаем теоретические значения признака Ig2/Te0p- Проводим патенцирование и получаем теоретические значения признака г/теор. Так как суммы теоретических и эмпирических значений признака у равны между собой, то расчет проведен правильно. Наносим теоретические значения на график (рис. 1.21).

График зависимости признаков

Рис. 1.21. График зависимости признаков

• • • • •

Пример 1.29

На основании приведенных данных провести исследование взаимосвязи между признаками, где у — результативный признак, х — факторный. Определить аналитическое выражение связи и проверить его на достоверность.

У

15

25

35

45

Vx

Vi

4

x>f

yxf

Y

In

Vi

2,71

3,22

3,56

3,81

X

10

1

1

15

10

100

27,1

2,93

15

3

3

25

45

675

144,9

3,18

20

2

1

1

4

32,5

80

1600

276,2

3,43

25

1

1

2

40

50

1250

184,25

3,68

Vy

1

5

2

2

10

112,5

185

3625

632,45

Yf

2,71

16,1

7,12

7,62

33,55

Решение

Строим график (рис. 1.22).

График взаимосвязи между признаками Предполагаем показательную зависимость

Рис 1.22. График взаимосвязи между признаками Предполагаем показательную зависимость

Логарифмируем данное уравнение:

Обозначаем In у через У; In я через A; In b через В. Тогда уравнение примет вид

Такое уравнение решается по методу прямой линии:

Искомое уравнение имеет вид

Подставляем значения х в полученное уравнение и получаем значения In у.

X

In у

1/теор

10

2,93

18

15

3,18

24

20

3,43

30

25

3,68

40

I

-

112

Наносим полученные значения г/теор на график (рис. 1.23).

График зависимости Y = 2,43 + 0,05х

Рис. 1.23. График зависимости Y = 2,43 + 0,05х

При применении параболических зависимостей второй, третей или иной степени пользуются следующими системами:

® второго порядка:

® третьего порядка:

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>