Полная версия

Главная arrow Философия

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Философия и проблема обоснования математики

Философия математики является, с одной стороны, разделом философии, а с другой — общей методологией математики. Ее основные проблемы — определение сущности математики, ее предмета и методов, места математики в науке и культуре. Методы философии математики — рефлексивный, проективный, нормативный. Философия математики выполняет функцию прогностической ориентации математики.

Вопрос о статусе математических объектов тесно связан с более общим вопросом о смысле существования в математике. Какие объекты допустимы в математике вообще? Для более глубокого выяснения этого вопроса обратимся к истории математики и истории философии [1].

Пифагореизм — первая философская теория математики — рассматривал математическое знание как необходимую основу всякого другого знания и наиболее истинную ее часть. Как философское течение пифагореизм выходит за рамки собственно философии математики, но тем не менее в центре его — определенное истолкование сути математического знания.

Истоки математики уходят в глубокую древность — к Египту и Вавилону. Однако большинство историков науки относит появление математики как теоретической дисциплины к более позднему, греческому периоду ее развития, так как ни в египетской, ни в вавилонской математике, несмотря на наличие довольно сложных и точных результатов, не найдено собственно математического, дедуктивного рассуждения, т.е. вывода одних формул и правил на основе других, или математического доказательства в обычном смысле этого слова.

Громадный сдвиг, осуществленный греческой математикой, заключается в идее доказательства, или дедуктивного вывода.

Греки заметили, что арифметические действия обладают особой очевидностью, безусловной необходимостью, принудительной для разума, которой не обладают никакие утверждения о реальных событиях и фактах, и истолковали это обстоятельство как проявление особого отношения чисел к истине. У пифагорейцев философия превратилась в мистику чисел и геометрических фигур, убеждение в истинности того или иного утверждения о мире достигалось сведением его к числовой гармонии.

Ранние пифагорейцы скорее всего не задумывались над природой самой математической закономерности, истоками ее безусловной истинности. Однако у Платона мы находим уже некоторую теорию на этот счет. Математические истины для Платона врожденны, они представляют собой впечатления об истине самой по себе, которые душа получила, пребывая в более совершенном мире, мире идей. Поэтому математическое познание есть просто припоминание, оно требует не опыта, не наблюдения природы, а лишь видения разумом.

Математический атомизм существовал наряду с пифагорейской философией. Это более реалистическая (с современной точки зрения) философия математики, идущая от атомизма Левкиппа и Демокрита. Известно, что Демокрит отрицал возможность геометрических построений в пустоте: геометрические фигуры были для него не умозрительными сущностями, а прежде всего материальными телами, состоящими из атомов. Математический атомизм появился скорее как частная эвристическая идея в геометрии, чем как особый взгляд на природу математики в целом. Однако он неявно содержал в себе определенную антитезу пифагореизму. Если для пифагорейцев математические объекты (числа) составляли основу мира в онтологическом смысле и основу его понимания, то в атомистической эвристике математические закономерности выступают вторичными по отношению к атомам как первосущностям. Физическое здесь логически предшествует математическому и определяет свойства математических объектов.

Эту линию продолжает Аристотель. Он отверг платоновский мир идей, а вместе с ним и нефизическое существование математических объектов. Объекты математики для Аристотеля - мысленное отвлечение от реальных вещей.

Взгляд на математические объекты как на отвлечения многообразия свойств реальных объектов типичен и для науки XVII—XVIII вв. Ньютон, например, истолковывает геометрию как «чистую математику», т.е. как абстрактную схему возможного механического движения. Такая трактовка математического существования вошла в противоречие с фактами. Поэтому уже Лейбниц поставил вопрос, должна ли математическая абстракция отражать непосредственную реальность. Математики стали постепенно осознавать, что математические образы имеют некоторую автономию от физической реальности. Позже свои философские взгляды на математику предлагали И. Кант (идея априоризма) и Г. Кантор (представления об истине).

В начале XIX в. О. Коши ввел в математику теоремы существования, которые ознаменовали новый этап в понимании статуса математического объекта. В понимании математического существования на первый план стал выдвигаться логический момент, требование обосновать допустимость того или иного предположения без ссылки на внешние эмпирические обстоятельства, но исключительно на основе собственных математических определений.

К концу XIX в. было уже понятно, что математика представляет собой особую науку, не связанную непосредственно с какой-либо эмпирической реальностью. Она должна лишь удовлетворять требованию логической непротиворечивости.

Требования непротиворечивости определений математики декларативны до тех пор, пока не указаны эффективные способы обоснования этой непротиворечивости. Отсюда проистекает проблема обоснования математики в XX в. Одной из первых попыток обоснования математики в тот период была идея Кантора о том, что все существующие математические теории можно свести к разработанной им теории множеств. Сколь простой ни казалась логика проведения подобного рода теоретико-множественного обоснования математики, по ряду причин оно оказалось невозможным. Например, Б. Рассел обнаружил логическое противоречие, выводимое им из определений исходных понятий теории множеств и основных ее предложений. Его суть заключалась в следующем. Согласно основным принципам теории множеств, в эту теорию можно ввести такие объекты, как «множество всех множеств» и «множество всех множеств, не содержащих себя в качестве своего элемента». В соответствии с данными принципами можно высказать суждение о том, что «множество всех множеств, не содержащих себя в качестве своего элемента» принадлежит множеству всех множеств, не содержащих себя в качестве своего элемента. Такое суждение не является ни истинным, ни ложным, что означает логическое противоречие (парадокс). Так как логически противоречивая теория не могла быть положена в основу математики, то канторовское обоснование математики было отвергнуто.

Подобного рода трудности, а также другие парадоксы теории множеств привели к кризису в обосновании математики. Выход из кризиса канторовского обоснования математики Б. Рассел и А. Уайтхед видели в изменении гносеологических оснований математики, т.е. в ограничении идеализации канторовской теории множеств. Данное ограничение запрещало вводить такие объекты, как «множество, содержащее себя в качестве своего элемента». В новой формулировке разрешалось вводить множество только в том случае, если его элементами были объекты, имеющие тип, непосредственно предшествующий типу вводимого множества. Вследствие этого теория Рассела становилась теорией, изучающей предметы и множества, классифицируя их на типы, и получила название «теория типов». Эту теорию именуют также логикой, поскольку термины теории множеств могут быть истолкованы как логические термины. Данное направление получило название «логицизм».

Математика, построенная на основаниях логицизма, довольно сильно отличалась от обычной математики. Во-первых, в силу ограничений гносеологических оснований из математики исключались целые разделы, которые играют в ней весьма существенную роль. Во-вторых, сама логицистская математика принимала неестественный вид. Например, для каждого типа надо было вводить по существу собственную арифметику.

Изменения гносеологических оснований теории множеств Кантора вели к исключению парадоксов, обнаруженных Расселом и другими математиками, но метатеоретическими средствами было невозможно доказать непротиворечивость теорий типов. Эти и другие причины привели научное сообщество к выводу, что теория типов не представляет удовлетворительных оснований для всей математики. Главная причина этого связана с гносеологическими основаниями теории типов, вводящими идеализации, которые сильно сужали предмет математики.

Формалистское направление предложило принципиально иной подход к обоснованию математики одного из основоположников в лице Д. Гильберта. С точки зрения формализма обоснование математической теории не должно зависеть от ее содержания, а опираться только на ее формы, т.е. доказательство должно быть формальным (синтаксическим), а не семантическим. Однако гильбертовская программа обоснования математики оказалась невыполнимой по следующим причинам. Во-первых, хотя через форму теории и можно выражать ее содержание, но для некоторых теорий, например таких, как арифметика натуральных чисел (теорема Гёделя о неполноте формализованной арифметики), его нельзя выразить полностью. Во-вторых, оказалось невозможным с помощью средств гильбертовской математики доказать непротиворечивость арифметики чисто синтаксическим методом.

Интуиционисты Г. Вейль и А. Гейтинг выдвинули критерий интуитивной ясности при оценке истинностных значений суждений. Гносеологические основания интуиционистской математики состояли в принятии принципов, допускающих построение математических объектов в рамках абстракции потенциальной осуществимости.

Под основанием математики интуиционисты понимали удаление из предмета математики всех тех объектов, существование которых предполагает сильные идеализации. При таком условии из предмета математики устраняются актуально бесконечные множества, но потенциально бесконечные множества остаются, их существование укладывается в рамки интуиционистских идеализаций. Главный недостаток интуиционистского обоснования математики критики интуиционизма видели в том, что при таком подходе сильно сужается предмет математики.

Все рассмотренные выше направления пытались обосновать математику только исходя из гносеологических предпосылок и исключали из математики все, что в эти рамки не укладывалось. А поскольку это вело либо к противоречиям, либо к сужению предмета, то в математике создавались критические ситуации.

Отечественная школа конструктивизма А.А. Маркова по- иному ставила вопрос обоснования математики. Конструктивизм видел свою задачу в выделении конструктивной части обычной математики и изучении ее в чистом виде. Это имело большое значение в связи с развитием вычислительной математики. Обоснование конструктивистской математики предполагало конструктивное построение самих математических теорий. С точки зрения конструктивных теорий обоснования далеко не вся классическая математика могла быть обоснована, но вопрос не ставился так, что неконструктивные части математики должны быть удалены из математики, поэтому их обоснование или отбрасывание не входило в задачу конструктивизма.

Таким образом, все рассмотренные направления в обосновании математики исходили из принимаемых тем или иным направлением идеализаций. Различные направления в обосновании математики плодотворны постольку, поскольку они раскрывают разные стороны содержательной математики как живого расширяющегося знания. Именно эти направления дали возможность выявить такую фундаментальную особенность математики, как неполнота формализации любых содержательных математических теорий. Различие между существующими обоснованиями математики обусловлено различным пониманием математического объекта.

Другая особенность математики, раскрываемая в процессе ее обоснования, состоит в том, что оправданно говорить о феномене «множественности математик».

Начиная с 1960-х гг. намечается тенденция к сдвигу проблематики обоснований математики в направлении задач, связанных с «машинной математикой». Вследствие этого можно говорить о возникновении новой гносеологической ситуации. Перспективы в развитии математики и уяснение ее оснований начинают зависеть от взаимодействия человека и машины, при котором возникают специфические критерии математического доказательства [2].

Среди заметных тенденций в науке XX в. необходимо также отметить увеличение значения математики в науке, особенно в естествознании (хотя еще с античности бытует мнение, что научность той или иной области знания определяется степенью использования в ней математики). Такую тенденцию часто называют математизацией науки. Это явление порождает философско-методологические проблемы и требует глубокого осмысления.

В XX в. во многих науках начинают широко использоваться методы математической гипотезы и математического моделирования. Их применение объясняется тем, что современная наука в основном имеет дело с идеальными (либо еще не существующими, либо принципиально не наблюдаемыми объектами). Метод математической гипотезы предлагает богатые возможности выбора подходящих математических конструкций, решая проблемы рационального объяснения и прогнозирования в различных науках. Метод математического моделирования позволяет приблизиться к целостному представлению объекта, что особенно важно при изучении сложных самоорганизующихся систем. Кроме того, данные методы позволяют спрогнозировать явление в любой сфере жизнедеятельности человека и поэтому получают широкое распространение не только в естествознании, но и в социологии, экономике, других социально-гуманитарных науках. Особо следует выделить современную космологию и социальную экологию.

Итак, философия математики определяет ее сущность, предмет и закономерности развития, а также раскрывает ее место в современных науке и культуре.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  • 1. Антология философии и математики ; отв. ред. и сост. А. Г. Барабашев и М.И. Панов. М., 2002.
  • 2. Рузавин Г.И. Философския науки. М., 2013.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>