Полная версия

Главная arrow Философия

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Современные философские проблемы областей научного знания

ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ

Математика как наука: предмет, методы, понятия

Математика (от греч. mathema — наука) — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Она включает в себя: арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию, высшую математику (аналитическая геометрия, линейная алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление) и др. [1].

Число — важнейшее понятие математики. Содержание его менялось на протяжении веков. В связи со счетом возникло понятие о целых положительных числах (натуральных), а затем Евклид и Архимед (III в. до н.э.) ввели понятие бесконечности натурального ряда чисел. Индийцы изобрели цифры для записи натурального числа при помощи десяти знаков.

Задачи измерения длин, площадей, где предполагалось выделение долей, привели к понятию рационального (дробного) числа — числа вида т/п, где тип целые числа и п * 0. Понятие отрицательного числа возникло у индийцев в VI—XI вв. Потребность в точном выражении отношений величин (например, отношение диагонали квадрата к его стороне) привела к введению иррациональных чисел. В Древней Греции были зафиксированы иррациональные отношения (отношения несоизмеримости), но они еще не имели статуса чисел. Иррациональные числа представлены бесконечными непериодическими десятичными дробями и выражаются через рациональные приближенно.

В связи с решением квадратных и кубических уравнений в XVI в. были введены комплексные числа вида х + iy, где хну — действительные числа, / — мнимая единица. Вместе с ними возникло понятие мнимого числа. Для многих крупных ученых XVII в. алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной, загадочной и даже мистической. Г. Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием». В физике закономерности микромира описываются комплексными величинами. Математический язык благодаря большой емкости, точности и гибкости позволяет выражать отношения, выходящие за рамки наглядных представлений. Сегодня математики признают, что будет ошибкой ассоциировать понятие комплексного (в частности, мнимого) числа с чем-то нереальным.

Математика характеризуется:

О высокой степенью абстрактности ее понятий (точки без размеров, линии без толщины, множества любых предметов);

О высокой степенью их общности (например, в алгебре буква обозначает любое число, в математической логике рассматриваются произвольные высказывания и т.д.).

Абстрактность и общность понятий математики позволяют один и тот же математический аппарат применять в различных науках.

Предметом математики являются системы математических объектов. При этом под системой понимается множество объектов с множеством отношений, существующих между этими объектами.

Математическими объектами называются абстрактные идеализированные объекты. Математические объекты играют важную роль в формировании математических теорий.

Абстрактный объект — это объект, наделенный теми свойствами, которые содержатся в его определении. Математика исследует формы и отношения, полностью отвлеченные от содержания, сохраняя в них лишь то, что содержится в их определениях. В связи с этим результаты в математике получаются путем логических выводов из самих этих определений, так что чистая математика имеет дедуктивный умозрительный характер.

Математические объекты не просто абстрактные объекты, но еще и идеализированные объекты (т.е. определены посредством признаков, доведенных «до предела»). Доведение определенных признаков «до предела», «до абсолюта» называется идеализацией. В математике идеализация состоит в доведении количественных характеристик реальных объектов до нуля или до бесконечности.

Предмет математики в действительном мире представляет собой пространственные формы и количественные отношения действительного мира. Отсюда возникает вопрос: каким способом выделить количественные отношения в чистом виде, т.е. как описать их так, чтобы это описание не зависело от содержания объектов. Примеры количественных отношений действительного мира общеизвестны. Это отношения равенства, геометрические отношения, отношения соизмеримости и т.д. [2].

В истории развития математики постепенно формировались ее основные методы — анализ и синтез, индукция и дедукция, обобщение и абстрагирование, аналогия и различные типы аксиоматик (содержательная, полуформальная и формальная).

Методы выделения формы в чистом виде весьма разнообразны. Для этого применяются логико-математические языки. При этом существенное значение имеет аксиоматический метод.

Аксиоматический метод предполагает описание количественных отношений без учета специфики объектов, между которыми эти отношения имеют место. Существенной чертой этого метода является то, что в аксиоматической теории все термины разделяются на исходные и производные, а предложения на недоказуемые (аксиомы) и доказуемые (теоремы). Доказательство теорем основывается на формально логической дедукции, или выводе их из аксиом с помощью правил логики. В зависимости от подразделения аксиом математических теорий и их логик на содержательные и формальные выделяют три вида аксиоматик — содержательные, которые имеют содержательные аксиомы математической теории и неформализованную логику (например, евклидова геометрия в изложении самого Евклида), полуформальные, которые имеют формальные аксиомы и неформализуемую интуитивную логику (например, евклидова геометрия в том виде, как ее представил Д. Гильберт в книге «Основания геометрии»), и полностью формальные, содержащие формальные аксиомы как собственно математической теории, так и логики.

Хотя математика является единой системой знаний, она подразделяется на теоретическую (чистую) и прикладную. В рамках теоретической математики принято различать содержательное и формальное знание. К содержательной математике относятся теории, изучающие системы абстрактных математических объектов (числовые системы, алгебраические системы, системы геометрических фигур и т.д.). К формальной математике принадлежат формальные теории (исчисление), предложения и термины которых не обязательно связаны с интерпретацией, т.е. с их зависимостью от эмпирических или абстрактных систем объектов.

В истолковании предмета математики выделяют три аспекта — синтаксический, семантический и прагматический. Фундаментальной характеристикой математического познания является доказательство.

Итак, возрастание роли математики и ее методов является одной из важнейших характеристик науки XX и XXI вв. Логика при этом выступает и как метод математики, и как математическая теория [2].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  • 1. Математика // Энциклопедия книжного клуба XXI века. М., 2002. Т. 11.
  • 2. Философия математики и технических наук; под обш. ред. С.А. Лебедева. М., 2006.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>