Полная версия

Главная arrow Товароведение arrow Основы метрологии, сертификации и стандартизации

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ТОЧЕЧНАЯ И ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКИ ИСТИННОГО ЗНАЧЕНИЯ ИЗМЕРЯЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Все число значений физической величины, из которых производится выборка, называется генеральной совокупностью. На практике же всегда имеют дело с ограниченным числом наблюдений или измерений, т.е. с выборкой из генеральной совокупности. Таким образом, выборкой, или выборочной совокупностью, называется совокупность случайно отобранных объектов. Оценку точности измерений проводят по ограниченному, хотя иногда и довольно большому числу наблюдений. В результате получают одно число. Это называется точечной оценкой. Задача получения точечных оценок результатов измерений и СКО случайных погрешностей является частным случаем статистической задачи нахождения оценки параметров функции распределения случайной величины на основании выборок, т.е. ряда значений, принимаемых этой случайной величиной в ограниченном числе п независимых опытов. Независимо от закона распределения случайной величины оцениваемыми параметрами является математическое ожидание и СКО функции распределения. Сами же формулы для оценок имеют различный вид в зависимости от закона распределения плотности вероятности.

Для нормального закона в формулы для дифференциальной функции распределения математического ожидания (тх) и СКО (ох) входят в явном виде, а для равномерного распределения определяются из соотношений

Если есть параметр А, то его оценка А называется точечной в случае, если она выражается одним числом.

Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, будучи их функцией, сама является случайной величиной с распределением, зависящим от трех следующих факторов:

  • • закон распределения исходной случайной величины;
  • • сам оцениваемый параметр;
  • • число опытов п.

К оценкам предъявляется три требования:

1) состоятельность. Оценка считается состоятельной, если с увеличением числа опытов п она приближается (т.е. сходится по вероятности) к значениям оцениваемого параметра, т.е. lim Р{А = А} = 1;

И—>о°

  • 2) несмещенность. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру: МА = А;
  • 3) эффективность. Оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше дисперсии другой оценки данного параметра.

Что значат разные оценки одного и того же параметра? Предположим, что имеется упорядоченный или вариационный ряд результатов наблюдений случайной величины X:

Вариационный ряд — это такой ряд, в котором Х] < Х ..., Xt <

мп.

Можно провести оценки различными методами: по медиане, по размаху, по среднему арифметическому и др.

Что в данном случае понимается под термином «медиана»? Медиана Ме[Х — это центральное среди результатов наблюдений значение случайной величины в упорядоченном ряду результатов наблюдений. В случае когда имеется четное число наблюдений, Ме[Х] = 0,5(X(rt/2)+1 + Хп,2). В случае если п — нечетное число, Ме[Х] = Х(,7+1)/2.

Например, при п = 3 Ме[Х = Х2, при п-4 Ме[Х = 0,5(ЛГ2 + Х3). Оценка по размаху

Оценка по среднему арифметическому

На практике не всегда удается получить оценки параметров функций распределения случайной величины, удовлетворяющие всем трем указанным требованиям.

Способы получения оценки зависят от закона распределения случайной величины. Для случайных величин, распределенных по различным законам, оценки параметров функций распределения проводят по различным формулам.

Для нормального закона распределения случайных величин или случайных погрешностей оценки максимального правдоподобия следующие:

где Q — точечная оценка максимального правдоподобия.

Однако оценка дисперсии, полученная таким образом, не является несмещенной. Для получения несмещенной оценки дисперсии случайной погрешности пользуются следующей формулой:

где X = Q.

Тогда оценка СКО случайной погрешности, полученная методом максимального правдоподобия, определяется следующим образом:

где X = — У" X: — несмещенная оценка генеральной средней; X — п

оценка математического ожидания результатов наблюдений или результат наблюдений.

Для равномерного закона распределения погрешностей

то есть если А — оценка максимального правдоподобия параметра А, то при достаточно большом числе наблюдений (п > 25) эта оценка может считаться нормально распределенной при любом распределении результатов наблюдений, причем при т.е.

эта оценка состоятельная.

Интервальные оценки параметров функций распределения погрешностей или результатов наблюдений получают путем определения интервалов, в границах которых с определенной вероятностью находятся истинные значения оцениваемых параметров. Такой интервал называется доверительным, а соответствующая вероятность — доверительной.

Доверительный интервал — интервал значений случайной погрешности, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение погрешности результатов измерений. Границы доверительного интервала называют доверительными границами — верхней и нижней.

Если результаты наблюдений или погрешность результата наблюдений распределены по нормальному закону с известным СКО

х = а .), то доверительная вероятность нахождения истинного зна-

д

чения измеряемой величины Q в доверительном интервале [X - tpcx, X + tpox определяется выражением

где Ф(tp) — нормированная интегральная функция нормального распределения.

Поскольку I,

Половина доверительного интервала tpox называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдений, соответствующего доверительной вероятности Р. Доверительный интервал, полученный по результатам многократных наблюдений, в yfn раз меньше интервала, вычисленного по результатам однократного наблюдения измеряемой величины. На этом принципе основан метод снижения случайных погрешностей измерений, т.е. повышения точности результатов измерений. В принципе, увеличивая п (число наблюдений), можно получить сколь угодно малое значение случайной погрешности измерений. Однако на практике, как правило, это весьма сложно (иногда просто невозможно) сделать из-за значительного увеличения времени на проведение измерений. Особо сложно это сделать в быстро изменяющихся процессах. Поэтому необходимо выбирать минимально необходимое число наблюдений для обеспечения такой случайной погрешности, которая была бы не больше допустимой, т.е. Это число п для нормального

закона можно определить из их соотношения

Таким образом, при интервальной оценке результат не может быть выражен одним числом. В процессе измерений получают лишь среднее значение измеряемой величины и границы доверительного интервала, внутри которого находится эта измеряемая величина с принятой доверительной вероятностью. Можно сказать, что получают какую-то полосу, внутри которой находятся возможные значения измеряемой величины. Эту полосу называют дорожкой погрешности возможных значений Q физической величины с принятой доверительной вероятностью.

Контрольные вопросы

  • 1. Что понимать под точечной оценкой результата измерения?
  • 2. Что такое интервальная оценка результата измерения?
  • 3. Каким условиям должна удовлетворять оценка результата измерения физической величины?
  • 4. Как определяются границы доверительного интервала?
  • 5. Как определяется минимально необходимое число многократных измерений?
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>