Вращательное движение твердого тела относительно оси

Описанное в параграфе 1.7.1 движение твердого тела относительно неподвижной точки является основным видом движения. Однако вычислить вектор L — момент импульса системы относительно произвольной точки — непросто: надо знать шесть проекций (три задают положение тела, три — положение точки).

Значительно проще найти момент импульса L тела, вращающегося вокруг неподвижной оси г^рис. 1.7.6). В этом случае составляющие момента внешних сил М, направленные вдоль осей хи у, компенсируются моментами сил реакции закрепления. Вращение вокруг оси г происходит только под действием М,.

Вращение произвольного тела относительно неподвижной оси z Пусть некоторое тело вращается вокруг оси z (рис. 1.7.7)

Рис. 1.7.6. Вращение произвольного тела относительно неподвижной оси z Пусть некоторое тело вращается вокруг оси z (рис. 1.7.7).

Вращение твердого тела под действием М

Рис. 1.7.7. Вращение твердого тела под действием М.

Получим уравнение динамики для некоторой точки mj этого тела, находящегося на расстоянии R. от оси вращения:

Поскольку скорость vt у всех точек разная, введем вектор угловой скорости со, причем Тогда

Так как тело абсолютно твердое, то в процессе вращения т. и R. останутся неизменными. Тогда

Пусть У. — момент инерции точки массой тр находящейся на расстоянии от оси вращения,

Момент инерции тела служит мерой инертности при вращательном движении, так же как масса — мера инертности при поступательном движении.

В общем случае тело состоит из огромного количества точек, и все они находятся на разных расстояниях от оси вращения. Момент инерции системы {тела):

В случае непрерывного распределения масс

где р — плотность тела; dV— объем малого элемента тела массой dm, отстоящего от оси вращения на расстоянии R.

Просуммировав выражение (1.7.6) по всем /-м точкам, получим

, или

Это основное уравнение динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. (Сравним: ma = F — основное уравнение динамики поступательного движения тела).

Для момента импульса L тела, вращающегося вокруг оси г, имеем:

(Сравним: р = ти — для поступательного движения).

При этом помним, что I и М — динамические характеристики вращательного движения, направленные всегда вдоль оси вращения. Причем^ определяется направлением вращения, как и ю, а направление М зависит от того, ускоряется или замедляется вращение.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >