ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Любое движение твердого тела сводится к поступательному и вращательному.

Это означает, что произвольное движение можно представить в виде суперпозиции поступательного движения тела, характеризуемого движением любой его точки (центра масс), и вращения тела вокруг этой точки (т.е. вокруг осей, проходящих через нее).

Вращательное движение твердого тела относительно точки

Рассмотрим твердое тело как некую систему (рис. 1.7.1), состоящую из п точек (mp т2,..., тпУ, а; радиус-вектор /-й точки, проведенный из точки О — центра неподвижной инерциальной системы отсчета. Введем обозначения: — внешняя сила, действующая на

/-ю точку; Fik — сила действия со стороны к-й точки на /-ю. Запишем основное уравнение динамики для точки:

Умножим обе части этого уравнения векгорно на а* :

23. На рис. 3 представлен график зависимости потенциальной энергии упругоде- формированной пружины от деформации. Полная механическая энергия пружины не меняется при изменении положения пружины (на графике - горизонтальная прямая Е = const). Используя данный график, начертите зависимость кинетической энергии упругодеформированной пружины от деформации.

Знак производной можно вынести за знак векторного произведения (и знак суммы тоже), тогда

Рис. 1.7.1. Вращение системы материальных точек вокруг точки О — центра неподвижной инерциальной системы отсчета

Векторное произведение /* точки на ее импульс называется моментом импульса (количества движения) Ц этой точки относительно точки О:

Для материальной точки массой т момент импульса

Три вектора в (1.7.1) образуют правую тройку векторов, связанных правилом буравчика (рис. 1.7.2).

Три взаимно перпендикулярных вектора

Рис. 1.7.2. Три взаимно перпендикулярных вектора

Направление вектора Z, ортогонально плоскости, в которой лежат векторы Д и Д, а величина этого вектора

где / = г sin а — плечо импульса (рис. 1.7.3).

Модуль момента импульса

Рис. 1.7.3. Модуль момента импульса

Векторное произведение Д, проведенного в точку приложения силы, на эту силу называется моментом силы Mi (рис. 1.7.4):

Рис. 1.7.4. Момент силы Mj = [Д,.Д]

Пусть /. плечо силы Fj (рис. 1.7.5). Так как sin(l 80° - а) = sin а, то Модуль момента силы С учетом новых обозначений для /'-й точки системы имеем

Рис. 1.7.5. Модуль момента силы

Запишем систему п уравнений для всех точек системы и сложим их левые и правые части:

Здесь сумма производных равна производной суммы:

где L — момент импульса системы; М — результирующий момент всех внешних сил относительно точки О.

Так как то

Отсюда получим основной закон динамики вращательного движения твердого тела, вращающегося вокруг точки:

Это выражение называется уравнением моментов.

Момент импульса системы L является основной динамической характеристикой вращающегося тела.

Из сравнения уравнения (1.7.5) с основным уравнением динамики поступательного движения

видно их внешнее сходство.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >