МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ СВЯЗАННЫХ КОСМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ СВЯЗАННЫХ ОБЪЕКТОВ

Рассмотрим математическую модель динамики связки, включающую в себя уравнения абсолютного движения центра масс (ЦМ) связки и уравнения относительного движения связанных объектов. Движение ЦМ связки описывается в абсолютной геоцентрической системе координат Axayaza, а относительное движение связанных объектов — в транспортирующей системе координат Sxyz (рис. 2.1). Начало абсолютной геоцентрической системы координат совпадает с центром Земли А. Ось Aza этой системы координат направлена по оси вращения Земли в сторону Северного полюса, ось Аха лежит в плоскости экватора и направлена в точку весеннего равноденствия, а ось Ауа дополняет систему до правой системы координат. Начало подвижной транспортирующей системы координат связано с ЦМ связки S, а ее оси все время параллельны соответствующим осям абсолютной геоцентрической системы координат.

Рис. 2.1

Запишем векторное уравнение, определяющее положение ЦМ связки:

где г радиус-вектор ЦМ связки; if, Т2 радиусы-векторы, определяющие положения первого и второго объектов; т{2 массы объектов связки.

Продифференцируем выражение (2.1) дважды по времени:

Вторые производные F, и 72 определяются из уравнений движения первого и второго объектов связки;

где Fy, F2 — векторы внешних сил, действующих на объекты связки; Д, Д векторы сил реакций связи.

Учитывая, что Д = -R2, после подстановки зависимостей (2.3) и (2.4) в уравнение (2.2) получаем

Выражение (2.5) является векторным уравнением движения ЦМ связки.

Введем векторы Z), и D2, определяющие положения первого и второго объектов относительно ЦМ связки (рис. 2.2).

Запишем очевидные соотношения и продифференцируем их дважды по времени:

Из выражения (2.4) можно записать

В результате подстановки зависимостей (2.5) и (2.7) во второе из выражений (2.6) получим

Рис. 2.2

Силы F] и F2 представляют собой сумму гравитационных, аэродинамических, а в общем случае также и реактивных сил:

где — векторы соответственно сил притяжения,

аэродинамических и реактивных сил, действующих на первый и второй объекты связки.

В дальнейшем будем полагать, что за время действия сил Р{ и Р2 массы объектов изменяются весьма незначительно. Поэтому величины /W j и т2 остаются постоянными.

Каждое из составляющих ускорений за счет действия внешних сил будем обозначать соответственно через

Проектируя векторное уравнение (2.5) на оси абсолютной геоцентрической системы координат с учетом зависимостей (2.9) и (2.10), получим систему уравнений движения ЦМ связки:

В системе уравнений (2.11) где

— угловая скорость вращения Земли, аэ = = 6 378 245 м — большая полуось общего земного эллипсоида,

— сжатие земного эллипсоида, v/ — скорость /-го объекта

связки относительно вращающейся атмосферы, к3 — коэффициент захвата атмосферы вращающейся Землей (0 < к3< 1), р(/г;.) — плотность атмосферы на высоте hr п0 = 3,986 • 1014м32, п2 = —1,756 х х 1025 м52, к4 = 1,546 • 1036 м72.

Система уравнений абсолютного движения ЦМ связки (2.11) может интегрироваться только совместно с уравнениями относительного движения связанных объектов (относительно центра масс связки). Для записи уравнений относительного движения привязного объекта спроектируем векторное уравнение (2.8) на оси транспортирующей системы координат. Первоначально рассмотрим проекции вектора R2 на оси транспортирующей системы координат (см. [119]):

Уравнение связи в нашем случае имеет вид

где / — длина соединительного троса; D — расстояние между объектами связки.

Теперь запишем векторные выражения для определения гх и Т2 (см. рис. 2.2):

Подставляя зависимости (2.14) в уравнение (2.1), можно получить соотношение

или в скалярном виде

Учитывая, что и принимая во внимание соотношение

(2.15), можно получить

Тогда уравнение связи (2.13) запишется в виде

Запишем выражения частных производных от/:

Подставляем выражения (2.18) в зависимости (2.12):

Учитывая приведенные соотношения, запишем уравнения относительного движения второго объекта в транспортирующей системе координат:

По известным параметрам относительного движения второго объекта с использованием выражения (2.15) легко определяются параметры относительного движения первого объекта связки:

Совокупность уравнений (2.11) и (2.20) совместно с зависимостями (2.21), (2.22) описывает движение связки. При этом в случае X = А, , где X — некоторое расчетное значение множителя связи, система описывает связанное движение объектов, а в случае X = 0 — свободное движение объектов при ослабленном (ненатянутом) тросе.

Для определения множителя связи можно воспользоваться следующим условием [119]:

Движение рассматриваемых объектов происходит при наложенной на них неудерживающей связи (2.13). Когда в некоторый

момент времени t имеет место/= 0 и — = 0, тогда система будет на-

dt

ходиться на связи при выполнении условия

Это условие может быть использовано для определения расчетного значения множителя связи X . Для этого выражение (2.16) дифференцируем дважды по времени:

В выражение (2.25) подставляем значения вторых производных х2, у2, 'ij из уравнений (2.20) и заменяем в этих уравнениях X на расчетное значение X :

р

После подстановки выражения (2.26) в условие (2.24) получим зависимость для определения расчетного значения множителя связи:

Полет связки может происходить с последовательной сменой режимов связанного и свободного движений объектов этой системы. В момент перехода от свободного движения к связанному происходит удар, при котором имеет место изменение скорости объектов за весьма малый, но конечный промежуток времени, исчисляемый тысячными долями секунды. Удар обусловлен кратковременным действием весьма больших сил.

Рассмотрим ударный импульс

где tH — момент времени начала удара; — момент времени

окончания удара; — матрица-столбец, элементы

которой являются составляющими ударного импульса по осям прямоугольной системы координат; — матрица-

столбец, элементами которой являются составляющие ударной силы по осям той же системы координат.

Введем обозначения составляющих скоростей объектов связки

в начале удара с верхним индексом «н», а в конце удара — с индексом «к». В соответствии с теоремой об изменении количества движения системы можно записать

Принимая во внимание наличие двух фаз для упругого удара

и выделяя момент tv для которого соблюдается условие

можно представить ударный импульс для каждого из объектов связки в следующем виде:

Элементы правой части выражения (2.30) в случае идеальной связи определяются зависимостями

где — матрица-столбец частных производных.

Известно, что величина ударного импульса зависит не только

от масс и скоростей связанных объектов, но и от упругих свойств связи, характеризуемых коэффициентом восстановления %:

Для определения зависимостей, характеризующих изменение скоростей связанных объектов при ударе о связь, предполагается, что продолжительность удара бесконечно мала. Действием неударных сил за время удара можно пренебречь, а изменения скоростей объектов за время удара находится из основного уравнения теории удара (2.29). За время удара ни система, ни связь не изменяют своего положения.

Тогда скорости связанных объектов после удара определяются выражением

Применяя подход, изложенный в работе [119], зависимости для составляющих приращения скоростей привязного объекта при ударе о связь могут быть представлены в следующем виде:

Входящие в выражения (2.27) и (2.34) производные / и / определяются в соответствии с принятым законом регулирования длины соединительного троса /. В случае управления движением связки при регулировании скорости изменения длины троса пропорционально расстоянию между объектами

где к — некоторый постоянный параметр управления; со — орбитальная угловая скорость ЦМ связки, которая определяется по параметрам абсолютного движения ЦМ:

Вторая производная

Величина со определяется выражением

где

Полученные системы уравнений (2.11) и (2.20) в правых частях содержат ускорения от реактивной силы корректирующей двигательной установки базового объекта рх и реактивной силы двигателя привязного объекта р2. При этом предполагалось, что управление связанными объектами осуществляется в транспортирующей системе координат. Вместе с тем при решении многих практических задач может оказаться необходимой реализация управления в орбитальной системе координат, связанной с ЦМ связки. Поэтому далее рассмотрим переход к управлению в орбитальной системе координат.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >