Полная версия

Главная arrow Финансы arrow Комплекс оптимизационных и имитационных моделей для исследования реализации предприятиями инвестиционных производственных проектов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ПЕРВЫЙ ЧАСТНЫЙ ВАРИАНТ

Сначала рассмотрим первый частный вариант, когда неточными (неопределенными) считаются только величины PL(l,t) и MXL(l,t). Эти величины трактуются как случайные с заданными функциями распределений. Обычно эти величины записываются в виде не случайного слагаемого — средней величины и случайного приращения:

где PL(l,t) — среднее значение количества занятых работников на производстве изделия / в точке времени t;

PL(I, t) — случайное изменение количества занятых работников на производстве изделия / в точке времени t;

MXL(l,t) — среднее значение производительности линии по производству изделия / в точке по времени t;

MXL(I, t) — случайное изменение производительности линии по производству изделия / в точке по времени t ?

Будем считать случайные величины PL(I, t) и МХЦ1, t) центрированными, т.е. их математические ожидания равны нулю. После подстановки этих выражений в формулу для вычисления выпуска продукции DXL(l,t) и после преобразований получаем рекуррентное выражение процесса Маркова для этой величины:

где

Первое слагаемое в этой сумме представляет собой не случайную величину, а второе — случайную. Поэтому для определения переходной функции процесса Маркова случайной величины DXL(l,t + 1) требуется только вычислить переходную функцию второго слагаемого. В [216] доказано, что переходная функция процесса Маркова для рекуррентной величины DXL(l,t + 1) за один шаг по времени — это функция распределения этой величины.

Конечной целью построения стохастической модели является определение числовых характеристик выходных показателей, в нашем случае случайной величины DXL(l,t + 1). Обычно такими характеристиками являются математическое ожидание и дисперсия, для расчета которых используется не функция распределения, а плотность этой функции, т.е. продифференцированная функция распределения. Поскольку выражения случайных величин, PL(l,t) , MXL(l,t) и DXL(l,t + 1) одинаковы для любого индекса / и шага по времени t, то для удобства записи их опустим и обозначим эти случайные величины так:

Полагая случайные величины z и у независимыми (никаких оснований считать их зависимыми нет), плотность функции распределения случайной величины , обозначаемой fy, записываем в виде

[185]:

где fz и — плотности распределения случайных величин z и у ;

Fz и Fy — функции распределения случайных величин z и у .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины <р, обозначаемые Му и , вычисляются по формулам

где

где

где Gz, Gy — области интегрирования по z и у;

Fz и fz — функция и плотность распределения величины z;

Fy и fy — функция и плотность распределения величины у .

Напомним, что рассматриваемые случайные параметры не являются действительно случайными, которые можно определить из опытных данных. Эти параметры представляют собой имитацию случайных величин посредством задания их функций распределения. На основе распределений параметров определяются функции распределения выходных показателей — в частности, выпуска продукции, являющегося функцией исходных (элементарных) случайных величин (параметров).

В качестве функций распределения элементарных случайных величин будем рассматривать равномерное и нормальное распределения. То и другое распределение имеет определенные преимущества и недостатки при имитации неопределенности параметров. Равномерное распределение более подходит в тех случаях, когда нельзя ничего сказать о преимуществе тех или иных значений параметров. В то же время в других случаях имитации неточности (неопределенности) параметров целесообразнее исходить из преимущества значений параметров, близких к некоторым средним значениям, и описывать распределения в виде нормальных. Поэтому целесообразно рассмотреть использование как равномерного, так и нормального распределений параметров.

Элементарными случайными величинами в данном случае будут z и у. Эти случайные величины распределены на интервалах с границами (z_,z+) и (у-,у+). Рассмотрим сначала равномерное распределение. Функции и плотности равномерного распределения ,

и fy имеют вид где

После подстановки выражений для функций и плотностей распределения случайных величин z и у в формулу для математического ожидания и взятия интегралов получаем

где

Учитывая, что , окончательно имеем

После подстановки выражений для функций и плотностей распределения случайных величин z и у в формулу для дисперсии и взятия интегралов получаем

где

Учитывая, что , окончательно имеем

Рассмотрим нормальное распределение. При его использовании для имитации случайных (неопределенных) параметров, заданных на конечном отрезке, функция распределения усечена за границами этого отрезка. Считая, что за пределами границ отрезков остается малая доля случайных величин, будем рассматривать нормальный закон, распределенный на всей оси. Плотности и функции нормального распределения случайных величин z и у (учитывая z = М z = 0 и у = Му =0) можно записать в виде

где oz, о у — средние квадратические отклонения (корни квадратные

из дисперсий) случайных величин z и у.

После подстановки выражений для функций и плотностей нормального распределения случайных величин z и у в формулу для математического ожидания получаем

где

Интегралы в этих формулах не выражаются через элементарные функции. Чтобы избежать численного интегрирования, можно использовать приближенные выражения подинтегральных функций, позволяющие в конечном счете интегрировать через элементарные функции. Функцию ф(х) можно заменить близкой к ней логистической функцией [215], которая имеет для переменной z вид

где . Далее логистическую функцию можно представить

приближенно в виде разложения в ряд Тейлора в точке z = 0. Это можно сделать, воспользовавшись известными разложениями числителя и знаменателя (разложение знаменателя отличается от разложения числителя на единицу в свободном члене). Затем, применяя теорему о подстановке ряда в ряд и поделив числитель на знаменатель

[214], в итоге можно получить приближенное выражение логистической функции, оставив два члена разложения:

Функцию плотности распределения также можно представить в виде разложения в ряд Тейлора в точке z = 0 ? Оставив два члена разложения, получим

Учитывая это разложение, подинтегральное выражение можно приближенно представить в виде интегрируемой целой рациональной функции:

где

Учитывая, что , получаем

Поскольку функция плотности распределения представлена приближенно, то интегрирование необходимо проводить на отрезке ее положительной определенности, который определяется из решения уравнения

Отсюда получаем:

Аналогичное выражение имеет и второй интеграл (по переменной у — величина Му) в формуле математического ожидания Му, где

интегрирование выполняется на отрезке где

Учитывая, что , получаем

Выражение для дисперсии в рассматриваемом случае имеет вид где

Выполняя для величины Dz аналогичные операции к подынтегральному выражению, как и для величины Mz, получаем

где , и интегрирование также выполняется на

отрезке

Учитывая, что , получаем

Поскольку для величины Dy выражение интеграла аналогично, то его можно записать в следующем виде:

где и интегрирование также проводится на

отрезке

Учитывая, что получаем

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>