РЕШЕНИЯ НА СТАТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ МОДЕЛИ С ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИЕЙ ИЗ ТРЕХ КОМПОНЕНТ

Рассмотрим решение на общей статической оптимизационной модели с целевой функцией, состоящей из трех компонент: q> = (a,p,d).

В этой модели требуется максимизировать производство конечной продукции как цели проекта (величину а), производство конечной продукции по ранее принятым планам и на экспорт (величину d) и минимизировать стоимость перепрофилирования (величину р):

Решение этой задачи предполагает нахождение множества эффективных значений целевой функции (множество Парето или Слейтера). В общем виде для данной модели — это множество весьма неопределенное. Уточнение этого множества возможно при наложении дополнительных условий на критерии этой задачи. Анализ всех возможных дополнительных условий выходит за рамки данного исследования. Здесь будут рассмотрены некоторые, но достаточно важные частные случаи.

Основная проблема неопределенности множества значений целевой функции заключается в противоречивости критериев а и d. Это противоречие можно разрешить на основе следующих допущений. Естественно допустить, что выпуск конечной продукции как цели проекта является приоритетом при реализации инвестиционного производственного проекта, выполняемого совместно группой предприятий. Выпуск конечной продукции по ранее принятым планам отнесем к целям более низкого уровня. Поэтому для разрешения указанного противоречия предположим, что основные ресурсы используются при выпуске продукции как цели проекта, а оставшиеся ресурсы направляются на выпуск конечной продукции по ранее принятым планам.

Если считать приоритетным выпуск конечной продукции как цели проекта, решение может быть получено в два этапа. На первом этапе рассматривается целевая функция с двумя компонентами аир. При этом полагаем, что компоненты векторов, входящих в величину d, принимают минимальные значения. Увеличение мощностей производственных линий может быть выполнено за счет перепрофилирования линий-доноров и за счет нового строительства. Алгоритмы решения этих задач изложены в предыдущих параграфах.

На втором этапе решается задача максимизации величины d при фиксированных значениях вектора у, полученных при решении задачи первого этапа и учета ограничений, относящихся к величине d. Эта модель получается из общей модели посредством удаления переменных, уравнений и ограничений, относящихся к перепрофилированию производственных линий и их строительству:

где а — общий объем выпуска конечной продукции в заданных пропорциях, полученный на первом этапе решения.

Решение на модели (2.33)-(2.44) характеризуется тем, что именно в этом варианте анализируются показатели внешнеторговой деятельности в рамках реализации инвестиционного производственного проекта. Модель (2.33)-(2.44) представляет собой стандартную задачу линейного программирования, которую можно решить, используя стандартные пакеты прикладных программ. Однако более интересно получить решение этой задачи в аналитическом виде. Хотя в общем случае это невозможно, тем не менее выделим ряд частных случаев, которые в целом дают общее решение. Этот способ получения общего решения также интересен тем, что позволяет выявить несовместность параметров и показателей модели.

Рассмотрим сначала частный случай, в котором предполагается, что все производственные линии предприятий могут быть полностью загружены. Максимальный объем производства конечной продукции в этом частном случае можно определить из уравнения (2.33), положив в нем х = р.

Тогда после преобразований из уравнения (2.34) получаем выражение для максимального объема производства конечной продукции (обозначим его через вектор у, равный сумме векторов у и г)в следующем виде

где / — единичная диагональная матрица.

Компоненты вектора у могут принимать все неотрицательные значения или же включать отрицательные. Рассмотрим сначала первый случай, когда все компоненты вектора у имеют неотрицательные значения. Этот частный случай соответствует ситуации, когда мощности всех предприятий сбалансированы между собой.

Поскольку вектор у представляет собой сумму конечной продукции, производимой по ранее принятым планам (для реализации на внутреннем рынке), а также экспортную продукцию, то необходимо выделить из него долю конечной продукции, идущей на экспорт. Это можно сделать по крайней мере двумя способами, которые определяются типом задаваемых ограничений на объемы внешней торговли.

Ограничения на объемы экспорта и импорта товаров являются альтернативой ограничению на величину сальдо внешнеторгового баланса, поскольку при одновременном произвольном задании граничных значений объемов экспорта и импорта и величины сальдо они, в общем случае, будут несовместны.

В частности, если заданы только ограничения на объемы экспорта и импорта, то объем производимой продукции на экспорт будет максимальным, если положить вектор производства конечной продукции по ранее принятым планам равным его минимальному значению (равным вектору у). Объем продукции, которая может производиться на экспорт, обозначаемый г , тогда определяется как разность

Хотя в общем случае два типа ограничений на внешнеторговые связи несовместны, в принципе их можно рассматривать вместе, но тогда их нужно согласовать. Для этого нужно проверить выполнение ограничения (2.40):

Если это условие выполняется, то сальдо внешнеторгового баланса согласовано с ограничениями на объемы экспорта и импорта товаров. В противном случае нужно увеличить сальдо внешнеторгового баланса. Для этого следует увеличить экспорт или уменьшить импорт товаров. Поскольку производственные мощности всех предприятий полностью загружены, то увеличить производство продукции на экспорт уже нельзя. Остается только уменьшить объем импорта. Обозначим As требуемое увеличение сальдо внешнеторгового баланса, которое вычисляется по формуле

Уменьшение импорта может быть выполнено различными способами. Например, предположим, что импорт уменьшается пропорционально для всех предприятий посредством умножения на коэффициент меньше единицы, который обозначим Л. Этот коэффициент вычисляется по формуле

Тогда возможный объем импорта, обозначаемый z, будет равен

Рассмотрим теперь случай, когда некоторые компоненты вектора у имеют отрицательные значения. Это означает, что уменьшаемое в правой части равенства (2.45), т.е. величина р(1 -А), меньше вычитаемого — величины qa* ? В этом случае остается только уменьшить величину а , т.е. объем выпуска конечной продукции как цели проекта. Для этого определим сначала отрицательную компоненту вектора у с максимальным абсолютным значением. Обозначим ее индекс к. Запишем уравнение (2.45) для этой компоненты в виде

Теперь можно найти новый объем производства конечной продукции как цели проекта, такой, чтобы все компоненты вектора у были неотрицательными. Для этого в уравнении (2.47) положим у^ равным

нулю и из полученного уравнения найдем новую величину а , обо- **

значаемую а :

При этом индекс к не должен быть равен индексу к в а^, полученном при решении задачи с целевой функцией <р = (а,р). В противном случае это означает, что в задачах с целевыми функциями <р = (а,р) и = (a,p,d) будут одни и те же ограничивающие условия, что не допускает решение задачи с целевой функцией <р = (a,p,d).

** *

Очевидно, что величина а заведомо меньше а . Отсюда, однако,

**

не следует вывод, что величина а не является оптимальной по критерию максимальности. В этом варианте имеет место лишь частный случай решения задачи с целевой функцией (некоторая точка множества Парето) при условии фиксации максимально возможного выпуска конечной продукции как цели проекта и одновременном условии полной загрузки производственных линий предприятий, выпускающих продукцию.

Причиной отрицательных компонент вектора у является дисбаланс производственных мощностей предприятий. Для устранения отрицательности значений этого вектора нужно уменьшить оптимальное (максимальное) значение а. Это означает, что определяется такое решение многокритериальной задачи с целевой функцией в котором отдается приоритет критерию d.

Однако это имеет место только в данной частной задаче и в данном частном случае при выявлении возможностей производства продукции при полной загрузке мощностей производственных линий предприятий.

Еще один вариант решения задачи с целевой функцией <р = (a,p,d) может быть реализован при условии приоритета максимизации критерия d при некотором значении критерия а. Тогда эта задача может быть решена в обратном порядке по сравнению с задачей, где принят приоритет а: сначала рассчитывается максимум критерия d, а затем максимум критерия а при условии фиксирования величины d (вектора у), полученного из решения первой задачи.

Следует также отметить, что в этих случаях получение положительного решения не гарантируется ввиду возможной несовместности условий, связанных с ограничениями по импорту, экспорту и трудовым ресурсам. Ниже предложен алгоритм решения этой задачи, который позволяет найти оптимальное решение или убедиться в несовместности ограничений.

При рассмотрении частного случая, когда х = р, остается еще проанализировать ограничение на количество занятых работников на предприятиях, т.е. неравенство (2.43). Подставив выражение h из уравнения (2.35) в неравенство (2.43) и учитывая, что х = р, получим

Если это неравенство не выполняется, то трудовых ресурсов недостаточно, чтобы обеспечить полную загрузку производственных линий предприятий. Для того чтобы обеспечить выполнение этого ограничения, надо каким-либо способом уменьшить значения вектора валового выпуска. В частном случае это можно сделать, если принять допущение, что трудовые ресурсы распределяются пропорционально валовому выпуску продукции на предприятиях. Обозначим через д коэффициент меньше единицы, на который надо умножить вектор производительности линий предприятий, чтобы получить общее число занятых работников h. Тогда этот коэффициент определяется по формуле

Поскольку предприятия выпускают и продукцию как цель проекта, и продукцию и по ранее принятым планам, то после того как найден новый объем выпуска продукции как цели проекта, можно определить максимальные возможности и по выпуску продукции по ранее принятым планам и на экспорт. Для этого надо решить задачу (2.33)-(2.44) с

* **

новым значением величины а , равным а . В этом случае приходим к необходимости решения общей задачи (2.33)-(2.44).

Как уже упоминалось, эта задача представляет собой задачу линейного программирования, которую можно решить стандартными методами. Однако, как показано выше, специфика условий, в частности совместное задание ограничений на импорт товаров и сальдо внешнеторгового баланса, может приводить к их несовместности. Для того чтобы обеспечить полный контроль над процессом решения и возможность оперативного устранения несовместности исходных данных, разработан алгоритм решения этой задачи, основой которого служит известный метод последовательного улучшения плана задачи линейного программирования (симплекс-метод).

Суть изменения стандартного алгоритма симплекс-метода состоит в том, что на основе специфики решаемой задачи предварительно находится опорный план, значение целевой функции которого достаточно близко к оптимальному (максимальному) значению. Причем одновременно с нахождением этого опорного плана обеспечивается устранение несовместности ограничений (согласование исходных данных). Кроме того, исходя из специфики рассматриваемой задачи, разработаны некоторые другие элементы алгоритма, упрощающие его реализацию на компьютере.

Первоначальный опорный план находится следующим способом. Положим значение искомых векторов у и г равными их граничным значениям, объединим эти векторы в один вектор у: у = у + f и подставим его в уравнение (2.33). Тогда это уравнение можно решить относительно вектора х. Это решение можно записать в следующем виде

где В — матрица, обратная матрице (/ - А).

Из теории линейного программирования известно [206-213], что х0 и у представляют собой план задачи (2.33)-(2.44). Покажем теперь условия, чтобы этот план был опорным.

Для этого подставим выражение z из уравнения (2.34) в неравенство (2.41), а выражение h из уравнения (2.35) в неравенство (2.43), в результате чего получим неравенства

Присоединим к этим неравенствам ограничение (2.38) для вектора х

Допустим, что для вектора х0 выполняются неравенства в ограничениях (2.48)-(2.49). После этого нужно проверить ограничение на величину сальдо внешнеторгового баланса задачи (2.42), поскольку оно может быть несовместным с ограничением на импорт продукции в товарном представлении. Если это ограничение не выполняется, уменьшаем значения вектора х0 по алгоритму, рассмотренному выше для частного случая, когда х = р ?

Если при проверке неравенств (2.48)-(2.49) хотя бы одно из условий не выполняется, то в этом случае в диалоговом режиме следует уменьшить численные значения тех компонент вектора у, для которых значения соответствующих компонент вектора х0 не удовлетворяют этим неравенствам. Уменьшение можно выполнить различными способами, например воспользоваться алгоритмом, изложенным выше для частного случая х = р ? В этом случае одновременно устраняется несовместность ограничений на сальдо внешнеторгового баланса (если она есть). После этого заново повторяются вычисления компонент вектора х0 и т.д. до тех пор, пока не будут выполнены условия (2.40)-(2.41). Допустим теперь, что векторы условий задачи (2.33)-(2.44), соответствующие компонентам вектора х, линейно независимы. Тогда согласно определениям из теории линейного программирования [170-173] план задачи (2.33)-{2.44), составленный из векторов х0 и у, будет опорным.

После того как найден начальный опорный план задачи (2.33)- (2.44), выполняется итерационная процедура последовательного улучшения опорного плана до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение. Если целевая функция данной задачи не ограничена, то метод последовательного улучшения плана позволяет установить это за конечное число шагов. В данном алгоритме имеется возможность задавать двусторонние ограничения на искомые переменные. Это расширяет возможности расчета различных вариантов максимизации выпуска конечной продукции.

Если двухсторонние ограничения заданы для всех переменных, то целевая функция не может быть неограниченной. В том случае, когда при расчете вариантов какие-либо из двухсторонних ограничений не заданы, в предлагаемом алгоритме они автоматически дополняются недостающими ограничениями по правилу: если не задано нижнее ограничение, то оно принимается равным нулю; если не задано верхнее ограничение, то оно принимается равным числу, большему, чем максимальное возможное число в данной задаче.

В этом случае решение формально всегда будет получено, что делает алгоритм нечувствительным к различным ошибкам и неточностям в задании исходных данных. При этом неограниченность целевой функции устанавливается тем, что хотя бы одна переменная в полученном решении принимает значение, равное максимальному значению ограничений в задаче.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >