ВИД ФУНКЦИИ СВЯЗИ ПРОИЗВОДСТВА КОНЕЧНОЙ ПРОДУКЦИИ И СТОИМОСТИ ПЕРЕПРОФИЛИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ линий

Рассмотрим первую из двух моделей, на которые разделяется общая модель с целевой функцией из двух компонент ср = (а,р), где а -»max, p^min, описываемую соотношениями (2.17)-(2.25). Поскольку эта модель линейная, то из уравнения (2.17) следует, что найдутся такие два значения величины а, при первом из которых все значения вектора х будут меньше, а при втором — больше значений вектора р. Это означает, что существует единственное значение величины а, при котором значения вектора х будут такими, что при решении на второй модели (2.26)-(2.29) все недогруженные производственные линии предприятий — линии-доноры — будут перепрофилированы в требуемые производственные линии-реципиенты. Докажем это утверждение. Для упрощения доказательства положим, что в задаче (2.17)- (2.25) ограничениями являются только производительности линий предприятий, соотношения и ограничения (2.18)—(2.19) и (2.23)-(2.24) исключим, а векторы г и у примем равными г - г, у = у . В этом случае решением этой задачи (максимальным значением величины а ) будет значение а^, равное

Индекс / минимального значения величины а- соответствует компоненте вектора р •, также имеющей минимальное значение.

Величине а^ соответствует вектор валовых выпусков х^, вычисляемый по формуле (2.14) х^ = В(у + r + qa^) ?

В предыдущем параграфе 2.8 при изложении алгоритма решения задачи (2.26)-(2.29) показано, что эта задача сводится к задаче с точными равенствами в ограничениях посредством введения мощностей фиктивных линий доноров (реципиентов). Ограничения имеют вид

Необходимым и достаточным условием решения задачи является равенство [213]

Тем самым доказывается существование и единственность решения этой задачи. В нашем случае ввиду введения мощностей фиктивных производственных линий это условие выполняется всегда. Решая задачу (2.26)-(2.29) с ограничениями, соответствующими величине а^, т.е. , получаем, что р = 0, поскольку в этом случае ни одна линия-донор неперепрофилируется в линии- реципиенты. В этом случае сумма имеет максимальное значение, пропорциональное сумме избыточных мощностей предприятий доноров, а сумма равна нулю.

Будем теперь увеличивать значение а до такой величины ае, пока не будут соблюдаться следующие условия: соответствующие этой величине компоненты вектора Ар+=0, а компоненты вектора

вычисляется по формуле

Эта ситуация подобна первой, но противоположна ей по смыслу и означает то, что потребность в перепрофилировании имеется, но фактически оно не выполняется, так как уже нет избыточных мощностей производственных линий-доноров. Следовательно в этом случае р = 0,

сумма имеет максимальное значение, а сумма равна

нулю.

Таким образом, при увеличении значения а величина р сначала монотонно увеличивается, достигая некоторой максимальной величины, а затем начинает падать, достигая нуля.

Монотонность изменения функции f = p(a) определяется линейным характером операторов, выражающих первую и вторую модель (2.17)—(2.25) и (2.26)-(2.29). Таким образом, функция f = p(a) имеет две нулевые точки, а между ними — один максимум.

Поскольку величина р в каждой точке а имеет минимальное значение с точки зрения оптимального распределения перепрофилируемых производственных линий-доноров в линии-реципиенты в силу решения экстремальной задачи (2.26)-(2.29), то определение точки а, в которой значение р имеет максимальное значение, дает совместное решение взаимосвязанных задач (2.17)-(2.25) и (2.26)-(2.29).

В [214] доказывается, что для непрерывной, монотонно возрастающей (убывающей) функции существует однозначная обратная функция, также монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная. Поскольку в области существования функция f = p(a) сначала возрастает от нуля до некоторого значения, а дальше убывает до нуля, то однозначная обратная функция = а(р) может существовать только на первом (возрастающем) участке или на втором (убывающем) участке. На общем участке изменения аргумента функция (р = а{р) не будет однозначной. Следовательно, использовать эту функцию в алгоритме решения взаимосвязанных задач (2.17)—(2.25) и (2.26)-(2.29) нецелесообразно.

Поэтому алгоритм решения взаимосвязанных задач (2.17)-(2.25) и (2.26)-(2.29) базируется на вычислении максимального значения функции f = р(а), в котором рассчитывается величина р при последовательном увеличении значения а. Критерием завершения расчета будет точка, в которой величина р начнет уменьшаться. Для более точного нахождения оптимальной точки при первом уменьшении величины р следует возвратиться назад с уменьшенным шагом и далее повторить циклы вычислений с заданной точностью, определяемой величиной шага. Следовательно, вычисление максимального значения функции f = p(a) не является итерационным процессом, для которого требуется доказывать сходимость. Это процесс поиска одного максимума функции с одной переменной. Для поиска экстремума функции одной переменной обычно используют производные. Поскольку в нашем случае функция f = p(a) не выражается в аналитическом виде, позволяющем вычислять производные, то используется метод попеременного движения около точки максимума с уменьшением шага.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >