ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯХ

ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ И ПО ЧАСТЯМ

Неопределенный интеграл и его свойства

На практике часто возникает задача определения неизвестной функции, если известна ее производная. Такая операция называется интегрированием, а функция, восстановленная по производной, называется первообразной.

Определение 20.1. Функция у = F(x) называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции у =Дх) на некотором интервале, если F'(x) =Дх) для любого х внутри этого интервала.

Пример. Для функции у - х первообразной будет функция у - F(x) - = х5/5, так как F'(x) = х4.

Можно заметить, что решением в этом примере будет не только х5 / 5, но х5/ 5 + 1. Более того, любая функция вид^ау = х5/ 5 + С, где С = const, является первообразной для функции у = х. Этот факт обобщается следующей теоремой.

Теорема 20.1. Если функция у = F(x) является первообразной для функции у = Дх) на некотором интервале, то множество всех первообразных для функции у =Дх) задается формулой у = F(x) + С, где С = const.

Доказательство. Пусть у - Ф(х) некоторая первообразная для функции у = Дх), отличающаяся от функции у = F(x). Рассмотрим разность v(x) = 0(x)-F(x).

Пусть х и Х2 — две произвольные точки внутри рассматриваемого интервала, причем х < Х2. По теореме Лагранжа найдется такая точка х: Xi < X < Х2, ЧТО v(X2) - v(xi) = v'(x)(X2-Xi).

Поскольку v'(x) - Ф'(х)-Лх) =Дх) -Дх) = 0, то и v'(x) = 0. Следовательно, v(xi) = v(x2). Ввиду произвольности выбора точек х1 и х2 получаем, что v(x) = const, следовательно,

Теорема доказана.

Определение 20.2. Совокупность всех первообразных для функции у =Дх) называется неопределенным интегралом от этойц функции и обозначается символом

Символ J называется знаком интеграла, Дх) — подынтегральной функцией, Дх)Фс — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования.

Если у - F(x) — некоторая первообразная, то можно записать:

Правильность интегрирования проверяется дифференцированием.

Пример. так как

Неопределенный интеграл имеет следующие свойства:

Упражнение. Доказать свойства неопределенного интеграла.

Для упрощения работы с интегралами приведем основную таблицу интегралов:

Непосредственное интегрирование

Этот метод заключается в сведении интеграла к табличным путем использования основных свойств неопределенного интеграла.

Пример. Вычислить интеграл

Имеем: Подставляя новое подынтегральное выражение, получаем:

Интегрирование подстановкой (метод замены переменной)

В некоторых случаях интеграл Jf{x)dx можно упростить, если ввести новую переменную интегрирования, положив х = <р(?). Тогда

В окончательном результате возвращаемся к переменной х по формуле t = (fx).

Пример. Вычислить интеграл

Положим х = 1 /1. Тогда dx = -dt / (t2) и, следовательно,

ft2 e' ?(-j = ~je,dt = -et +C = -ex + C.

Метод интегрирования по частям

Известно правило дифференцирования произведения двух функций:

Интегрируя обе части равенста (20.2), получаем:

Формула (20.3) называется формулой интегрирования по частям. Пример. Вычислить интеграл

Положим: и = arctg х, dv = dx. Тогда du = dx / (1 + х2), v = х.

Подставляя в (20/3), получим:

Пример. Вычислить интеграл

Положим: и = х, dv = е dx. Тогда du = dx,v = е. Подставим в (20.3):

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >