Свойства бинарных отношений
  • 1. Рефлексивность — отношение R называется рефлексивным, если для любого элемента из множества предъявления выполняется соотношение: d. R d.. На графе отношения, обладающего данным свойством, каждая вершина имеет петлю, а в матрице смежности на главной диагонали находятся 1.
  • 2. Антирефлексивность — отношение R называется анти- рефлексивным, если оно может выполняться только для несовпадающих элементов, т. е. из соотношения d. R d. следует, что i Ф j. На графе такого отношения нет петель, а в матрице смежности на главной диагонали стоят 0.
  • 3. Симметричность — отношение R называется симметричным, если из соотношения d R d. следует, что выполняется и обратное соотношение: d R d . При наличии данного свойства на графе отношения каждой стрелке соответствует стрелка в обратном направлении, а в матрице смежности элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны: d.. = d .
  • 1 ij п
  • 4. Асимметричность — отношение R называется асимметричным, если из двух соотношений d. R d. и d^ R d.по меньшей мере одно невыполнимо. На графе такого отношения две вершины могут соединяться только одной стрелкой, а для матрицы смежности справедливо соотношение d.. • d.. = 0.
  • 5. Антисимметричность — отношение R называется антисимметричным, если оба соотношения d R d и d R d выполня- ются одновременно только при г = j. На графе такого отношения две вершины могут соединяться только одной стрелкой, но у каждой вершины обязательно должны быть петли. В матрице смежности справедливо соотношение:

  • 6. Связность — отношение R называется связным (полным, линейным, совершенным), если для двух любых несовпадающих элементов справедливо хотя бы одно из двух соотношений: d. R d. или d. R d. для i Ф j. На графе связного отношения каждая вершина соединена стрелкой с остальными вершинами.
  • 7. Транзитивность — отношение R называется транзитивным, если из соотношений d R d и d R d следует d. R d.. Ha графе транзитивного отношения, если одна вершина соединена стрелкой с другой вершиной “через третью”, то должна быть стрелка, непосредственно соединяющая первую и третью вершины.

Приведем несколько примеров отношений с различными свойствами. Отношение “больше” на множестве действительных чисел антирефлексивно, асимметрично, транзитивно, но не связно в отличие от отношения “быть не меньше” на том же множестве, которое рефлексивно, антисимметрично, транзитивно и связно. Отношение “быть родным братом” на множестве мужчин симметрично, но не транзитивно. Отношение “быть ниже ростом” на множестве людей антирефлексивно, асимметрично и транзитивно.

При проведении экспертиз широкое применение находят специальные отношения, обладающие фиксированным набором рассмотренных свойств.

Эквивалентностью называют симметричное, рефлексивное, транзитивное отношение. Если последнее свойство отсутствует, имеем другое отношение — толерантность. С помощью этих специальных отношений задается классификация (сортировка).

Строгим порядком называют транзитивное, антисимметричное, рефлексивное и связное отношение. Таким отношением задается строгое ранжирование. Нестрогое ранжирование задается так называемым квазипорядком — транзитивным и рефлексивным отношением. Если к этим свойствам добавить связность, получим связный квазипорядок, которым задаются балльное оценивание, выражение предпочтений с помощью субъективных вероятностей и коэффициентов важности.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >