Методы проверки гипотез о законах распределения

Постановка задачи

При обосновании закона распределения случайной переменной по результатам испытаний обычно решают две задачи:

• 1. Выравнивание (сглаживание) полученного при испытании статистического ряда. При решении данной задачи подбирают теоретическую кривую распределения, которая выражает лишь существенные черты статистического распределения.
• 2. Проверка гипотезы о законе распределения. В результате решения устанавливают причины расхождения между подобранной теоретической кривой распределения и статистическим распределением. Расхождение может быть обусловлено либо случайными отклонениями, либо тем, что подобранная кривая плохо описывает статистическое распределение.

Задача выравнивания заключается в том, чтобы подобрать теоретическую кривую распределения, которая с той или иной точки зрения наилучшим образом описывает данное статистическое распределение. Выбранный в результате решения данной задачи теоретический закон распределения принимается в качестве нулевой гипотезы. Для ее решения используют метод моментов, систему кривых К. Пирсона, систему кривых Н. А. Бородачева и ряд других методов.

Для выбора нулевой гипотезы может быть использована следующая методика. По результатам испытаний находят оценки коэффициентов асимметрии а_х и эксцесса е_х

где — оценка стандартного отклонения исследуемой случайной переменной X,

М-з (щ)— оценка центрального момента третьего (четвертого) порядка случайной переменной X

Доказано, что каждому закону распределения соответствует вполне определенное соотношение между коэффициентами асимметрии и эксцесса. На основе данного свойства строят диаграмму, на которой могут быть выделены точки, прямые и области, отвечающие соответствующему распределению. Такая диаграмма показана на рис. 6.3.

С помощью этой диаграммы можно приближенно определить гипотетический закон распределения, который следует выдвигать в качестве нулевой гипотезы. Для этого на диаграмму наносится точка с координатами (а_х , е_х), которые получены по формулам (6.1). Если она окажется вблизи от точки, прямой или области, соответствующей одному из распределений, то его и следует выдвигать в качестве нулевой гипотезы.

На диаграмме (рис. 6.3) выделены характерные точки, прямые и области, которые соответствуют следующим распределениям:

Рис. 6.3

точки с координатами:

• (0; -1,2), (точка I) — равномерному;
• (0, 0), (точка II) — нормальному;
• (0, 3), (точка III) — распределению Лапласа;
• (4, 6), (точка VIII) — показательному; прямые:

V — Стъюдента;

VI — гамма-распределению;

VII — Пуассона;

IX — логарифмически-нормальному; область IV — бета-распределению.

После выдвижения нулевой гипотезы приступают к реше нию второй задачи, т. е. к проверке справедливости выдвину той гипотезы.