Полная версия

Главная arrow Статистика arrow Общая и прикладная статистика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

8.3.1. Имеются данные о стоимости основных фондов и выпуске продукции по 10 компаниям:

Название компаний

Стоимость основных фондов, млн руб.

Выпуск продукции, млн руб.

А

1

2

Звезда

6

2.4

Атлант

8

4,0

Фиас

9

3,6

Антарис

10

4,0

Перспектива

10

4,5

Рамекс

11

4,6

Алмаз

12

5,6

Колобок

13

6,5

Сапфир

14

7,0

Норд

15

5,0

Итого

108

47,2

Вычислите коэффициент корреляции по стоимости основных фондов и выпуску продукции компаний.

Решение.

Составим расчетную таблицу для подготовки вычисления коэффициента корреляции, приняв стоимость основных фондов за факторный признак (х), а выпуск продукции за результативный признак (у):

Название

компаний

Стоимость основных фондов (х), млн руб.

Выпуск продукции (у), млн руб.

ху

X2

У2

А

1

2

3

4

5

Звезда

6

2,4

14,4

36

5,8

Атлант

8

4,0

32,0

64

16,0

Фиас

9

3,6

32,4

81

13,0

Антарис

10

4,0

40,0

100

16,0

Перспектива

10

4,5

45,0

100

20,2

Рамекс

11

4,6

50,6

121

21,2

Алмаз

12

5,6

67,2

144

31,4

Колобок

13

6,5

84,5

169

42,2

Сапфир

14

7,0

98,0

196

49,0

Норд

15

5,0

75,0

225

25,0

Итого

108

47,2

539,1

1236

239,8

Таким образом, связь между стоимостью основных фондов и выпуском продукции прямая и высокая.

8.3.2. Имеются данные об издержках обращения и о выработке на одного работника, т.е. производительности труда по предприятиям региона за квартал:

п/п

Средняя выработка на одного работника (х), тыс. руб.

Уровень издержек обращения (у), % к товарообороту

1

2

3

1

40,4

4,54

2

43,1

4,42

3

45,2

4,19

4

47,0

4,23

5

51,4

3,88

6

51,7

4,00

7

53,9

4,04

8

55,2

4,01

Постройте уравнение взаимосвязи признаков, влияющих на издержки обращения, и сделайте прогноз работы новых предприятий с выработкой на одного работника 60, 50 и 40 тыс. руб.

Решение.

1. Для подтверждения положений логического (качественного) анализа о наличии прямой зависимости между уровнем издержек обращения и средней выработкой нанесем исходные данные (эмпирические) на график корреляционного поля и сделаем выводы о форме связи.

Из графика видно, что связь является линейной и обратной. Точки расположены по направлению из верхнего левого угла в правый нижний: с увеличением выработки снижается уровень издержек обращения.

2. Для определения тесноты связи между изучаемыми признаками вычислим линейный коэффициент корреляции, для чего проведем необходимые расчеты в таблице, так как для расчета г и построения уравнения регрессии (связи) требуются одни и те же показатели.

Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии:

№п/п

Средняя выработка одного работника (х), тыс. руб.

Уровень издержек обращения (у), % к товарообороту

ху

X

Т

Ух

1

2

3

4

5

В

7

1

40,4

4,54

183,4

1632,16

20,61

4,47

2

43,1

4,42

190,5

1857,61

19,54

4,37

3

45,2

4,19

189,4

2043,0

17,56

4,29

4

47,0

4,23

198,2

2209,0

17,89

4,22

5

51,4

3,88

199,4

2641,96

15,05

4,05

6

51,7

4,00

206,8

2672,89

16,0

4,04

7

53,9

4,04

217,8

2905,21

16,32

3,96

8

55,2

4,01

221,4

3047,04

16,08

3,91

Итого

387,9

33,31

1607,5

1900.8,87

139,05

33,31

Линейный коэффициент корреляции для парной зависимости исчисляется по следующей формуле:

1

[1] [2] [3] [4]

Вычитаем из второго уравнения первое и получаем:

Подставляем значение а1 в первое уравнение и находим коэффициент а0:

Уравнение корреляционной связи принимает вид:

Свободный член ао характеризует уровень издержек обращения, не зависящий от выработки на одного работника. Коэффициент регрессии flj уточняет связь между у и х. Он показывает, на сколько единиц увеличивается результативный признак при измерении факторного признака на единицу в пределах установленной вариации. При увеличении выработки на 1 млн руб. уровень издержек обращения снижается на 0,039% к обороту.

5. Так как уравнение регрессии составлено на основе фактической информации по данным о восьми предприятиях за квартал, то можно исчислить по нему теоретические уровни, т.е. в уравнение ух = 6,05 - 0,039х вместо значений х будем подставлять фактические данные о выработке каждого из предприятий:

№ 1 ух= 6,05-0,039-40,4 = 4,47;

№ 2 ух = 6,05 - 0,039 - 43,1 = 4,37 и т.д. (графа 7 расчетной таблицы). В итоге получим сумму 33,31, которая соответствует графе 3 и свидетельствует о правильности выполненных расчетов.

Полученные значения наносим на ранее построенный график корреляционного поля — это будет теоретическая (сглаженная) прямая линия.

  • 6. Используя полученную информационную математическую модель, определим возможное значение уровня издержек обращения для открываемых в регионе новых предприятий:
    • • с выработкой на одного работника 60 тыс. руб.:

т.е. уровень издержек при этом составит 3,71% к товарообороту за квартал при прочих равных условиях;

• с выработкой на одного работника 50 тыс. руб.:

• с выработкой на одного работника 40 тыс. руб.:

8.3.3. Определите при помощи корреляционного отношения тесноту связи между числом обслуживаемых станков и средней выработкой одного рабочего:

Рабочие

Дневная выработка рабочего

Отклонение индивидуальных значений признака от общей средней (х,. -х)

Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от 2 общей средней(. -х)

на 8 станках

на 11 станках

на 8 станках

на 11 станках

на 8 станках

на 11 станках

А

1

2

3

4

5

6

1

40

62

-14

+8

196

64

2

48

66

-6

+12

36

144

3

43

60

-11

+6

121

36

4

45

68

-9

+14

81

196

5

44

64

-10

+10

100

100

Итого

220

320

534

540

Решение.

Определим среднюю выработку рабочего на 8 станках:

Определим среднюю выработку рабочего на 11 станках:

Общая средняя выработка всех рабочих равна:

Вычислим общую дисперсию (о*), характеризующую общую вариацию под влиянием всех факторов:

Межгрупповая дисперсия (oj), характеризующая факторную вариацию, т.е. различия в выработке, обусловленные неодинаковым числом обслуживаемых станков, определяется по формуле

Рассчитаем корреляционное отношение по следующей формуле:

Следовательно, 96,4% всей вариации выработки объясняется тем, что часть рабочих работали на 8 станках, а часть — на 11 станках, и только 3,6% вариации (100 — 96,4) является результатом действия прочих случайных факторов, не положенных в основание группировки.

8.3.4. По данным о сумме активов, кредитных вложений и величине собственного капитала коммерческих банков на 01.01.2012 г. постройте множественное уравнение связи. Связь предполагается линейной.

Номер

банка

Сумма активов (у), млн руб.

Кредитные вложения (xj, млн руб.

Собственный капитал lx?), млн руб.

1

3176

2496

209

2

3066

1962

201

3

2941

783

177

4

1997

1319

136

5

1865

1142

175

6

1194

658

88

7

518

311

60

Итого

14757

8671

1046

По полученным данным рассчитайте коэффициент эластичности взаимосвязи признаков.

Решение.

Уравнение множественной регрессии:

Система нормальных уравнений имеет вид:

Построим таблицу для определения параметров уравнения регрессии:

Но

мер

бан

ка

Сумма

активов

(у).

млн руб.

Кредитные вложения (XfJ, млн руб.

Собствен

ный

капитал

млн руб.

ух1

А

У

х

ухг

Ух

1

3176

2496

209

1927 296

6 230 016

10086 976

521 664

43 681

663 784

3153

2

3066

1962

201

6 015 492

3 849 444

9 400 356

394 362

40 401

616 266

3000

3

2941

783

177

2 302 803

613 089

8 649 481

138 591

31 329

520 557

2554

4

1997

1319

136

2 634 043

1 739 761

3 988 009

179 384

18 496

271 592

1886

5

1865

1142

175

2129 830

1 304164

3 478 225

199 850

30 625

326 375

2533

6

1194

658

88

785 652

432 964

1 425 636

57 904

7744

105 072

1057

7

518

311

60

161 098

96 721

268 324

18 660

3600

31080

574

I

14757

8671

1046

21 956 214

14 266159

37 297 007

1 510 415

175 876

2 534 726

14 757

Подставим полученные значения в систему уравнений:

Отсюда:

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

Проведенные расчеты показали, что с увеличением кредитных вложений на 1 млн руб. и собственного капитала коммерческих банков на 1 млн руб. стоимость их активов возрастает соответственно в среднем на 0,0358 и 16,77 млн руб.

Коэффициент эластичности (Эх) определяется по формуле

Подставляя значения признаков, определим влияние каждого факторного признака на результативный признак отдельно:

При увеличении кредитных вложений и собственного капитала на 1 % стоимость активов в среднем возрастает соответственно на 0,02 и 1,19%.

8.3.5. Исследовалась социально-демографическая характеристика потребления сигарет женщинами в зависимости от их семейного положения в одном из регионов Российской Федерации. Результаты обследования характеризуются данными (тыс. чел.):

Гоуппы женщин

Семейное положение

Всего

Замужем

Не замужем

Курит сигареты

10,0

14,5

24,5

Не курит сигареты

2,5

4,5

7,0

Итого

12,5

19,0

31,5

Рассчитайте коэффициенты ассоциации и контингенции.

Решение.

Так как , то потребление сигарет женщинами не зависит от их семейного положения.

8.3.6. Исследовалась зависимость между оценкой уровня жизни респондентов и формой собственности предприятия, на котором они работают:

Форма собственности предприятия

Оценка уровня жизни респондентов

Итого

Вполне

удовлетво

рительно

Скорее

удовлетво

рительно

Скорее не удовлетворительно

Совсем не удовлетворительно

Государственная

31

35

35

35

136

Муниципальная

17

13

14

9

53

Смешанная

4

2

1

1

8

Частная

8

5

4

3

20

Итого

60

55

54

48

217

Определите коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова.

Решение.

Для определения коэффициентов сделаем вспомогательные расчеты:

Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона определяется по формуле

Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова определяется по формуле

Так как коэффициенты взаимной сопряженности Х^, и Кц по своим значениям далеки от единицы, то можно сказать, что оценка уровня жизни респондентов не зависит от типа предприятия, на котором они работают.

8.3.7. Имеются данные о зависимости наличия отдельной квартиры от семейного положения человека:

Семейное положение

Наличие отдельной квартиры

Отсутствие отдельной квартиры

Всего

Семейные

300 (а]

115 ib)

415 la + b)

Одинокие

15 (с)

70 Id)

85 (с + d)

Всего

315 (а + с)

185 (Ь + d)

500

Вычислите коэффициенты ассоциации и контингенции зависимости данных явлений.

Решение.

Коэффициент ассоциации рассчитывается по следующей формуле

Коэффициент контингенции определяется по формуле

Так как полученный Касс > 05, а коэффициент контингенции Кконт > 0,3, значит, между семейным положением и обеспеченностью отдельной квартирой существует прямая умеренная связь.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

  • 1. Основные задачи изучения и измерения связи между явлениями.
  • 2. Характеристика функциональной связи явлений и процессов.
  • 3. Понятие корреляционной связи и ее сущность.
  • 4. Виды связей по своему направлению.
  • 5. Прямолинейная и криволинейная связи, их математическое выражение.
  • 6. Статистические методы установления связей между явлениями.
  • 7. Для каких целей при установлении связи между явлениями применяют аналитические группировки?
  • 8. Корреляционное отношение, его исчисление и характеристика.
  • 9. Сущность и назначение корреляционного анализа.
  • 10. Определение теоретического значения ух способом наименьших квадратов.
  • 11. Уравнение регрессии и характеристика его коэффициентов.
  • 12. Определение линейного коэффициента корреляции.
  • 13. Коэффициент эластичности, его сущность и определение.
  • 14. Когда применяются коэффициенты ассоциации и контингенции и порядок их вычисления?
  • 15. В каких случаях применяются коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова и порядок их исчисления?

  • [1] Абсолютная величина линейного коэффициента корреляции
  • [2] г = - 0,90, что свидетельствует о высокой тесноте связи между изучаемыми признаками, а знак «минус» при коэффициенте — об обратной связи.
  • [3] В целях синтезирования модели в зависимости от уровня издержек обращения и средней выработки определим уравнение прямолинейной связи и нанесем полученную при этом теоретическуюлинию регрессии на ранее построенный график корреляционногополя.
  • [4] Уравнение прямой линии имеет вид: Способом наименьших квадратов решим систему нормальныхуравнений, находя параметры а0 и а{: Подставляем значения из расчетной таблицы: Делим каждое уравнение на коэффициенты при а0 (первое уравнение делим на 8, а второе — на 387,9) и получаем:
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>