Изгиб с растяжением (сжатием) стержня большой жесткости

До сих пор мы рассматривали случаи нагружения стержня такими силами, которые вызывали какой-либо один вид деформации: растяжение или сжатие, кручение, изгиб — и более сложный случай — косой изгиб.

На практике часто на элементы конструкции действуют нагрузки, вызывающие возникновение нескольких видов деформации, в частности одновременное действие изгиба с растяжением или сжатием.

Рассмотрим стержень, защемленный одним концом и нагруженный силой Р, приложенной в вертикальной плоскости под некоторым углом ос к плоскости сечения (рис. 7.7, а) [25, 26].

Разложим силу Рна две составляющие: Ру и Рг. Составляющая Рг вызывает растяжение стержня, а Ру прямой поперечный изгиб в вертикальной плоскости. В этом легко убедиться, воспользовавшись методом сечений (рис. 7.7, б)

Х^ = .Гг-ЛГг=0,

откуда Nz = Р..;

ХУ = Ру-0у= 0,

откуда Оу = Ру.

И наконец, составив уравнение моментов относительно оси х, получим

I

Изгиб с растяжением стержня

Рис. 7.7. Изгиб с растяжением стержня:

а — расчетная схема; б — равновесие внешних сил и реакций в заделке

- мх = О,

откуда Мх = Ру1.

Как известно, при растяжении (сжатии) в поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения, равномерно распределенные по площади сечения:

° = ^/А = Р1/А.

При поперечном изгибе возникнут нормальные и касательные напряжения, но последними можно пренебречь.

Для определения суммарных напряжений воспользуемся принципом независимости действия сил и результирующее напряжение найдем как алгебраическую сумму напряжений от растяжения и изгиба.

Следует заметить, что принцип независимости действия сил применим только для стержней большой жесткости, так как в этом случае в силу малости деформаций можно не учитывать изменений в расположении сил при деформации и пренебрегать дополнительным моментом, который будет давать сила /% при изгибе балки. Для стержня большой жесткости можно считать, что он только растягивается силой Рр а изгибается силой Ру.

Суммарные напряжения определим по формуле

СтЯх=^/А + Мх/К-

На рис. 7.8 показаны эпюры распределения напряжений по высоте сечения при растяжении (рис. 7.8, а), изгибе (рис. 7.8, б) и суммарная эпюра (рис. 7.8, в) для случая, указанного на рис. 7.7, а. Опасным будет сечение в заделке.

Эпюры распределения напряжений

Рис. 7.8. Эпюры распределения напряжений:

а — по высоте сечения при растяжении; б — по высоте сечения при изгибе;

в — суммарная эпюра

Нижние волокна стержня будут растягиваться и при изгибе, и от действия силы /%:

°та х=^/Л + ру1/К-

При одновременном действии изгиба с растяжением (сжатием) нейтральная линия сечения уже не будет проходить через центр тяжести сечения.

К подобному выводу можно было бы прийти и в том случае, если действующая на стержень нагрузка не будет лежать в главной плоскости. Стержень тогда будет испытывать помимо растяжения косой изгиб, который равносилен изгибу в двух плоскостях (рис. 7.9).

Изгиб с растяжением стержня

Рис. 7.9. Изгиб с растяжением стержня

В точке О сечения напряжения от двух изгибов и растяжения одного знака, поэтому они суммируются:

ап = Я/Л + /у/Жг + /у/IV,..

Чтобы стержень считался прочным, необходимо соблюдение условия прочности

<*тах ^ М

или

<*„т = Р,/А + еу1/)?х + /у/»Г, < [с].

Пример 7.3 [25, 26]. Проверить прочность стержня, изображенного на рис. 7.10, а, если [су] = 120 МПа.

Изгиб с растяжением стержня

Рис. 7.10. Изгиб с растяжением стержня: а — расчетная схема; б — эпюры изгибающего момента и продольной силы

Сила вызывает растяжение, и вызванная ею продольная сила по всей длине стержня постоянна. Сила Р2 вызнает прямой изгиб в вертикальной плоскости. На рис 7.10, б схематично изображен стержень и эпюры продольных сил N. и изгибающих моментов Мх.

Опасное сечение — сечение заделки. В нем /V. = Рь Мх = -/у/2.

Напряжения от растяжения

ср = дул = /•/6/7 = 120-103/0,06 0,1 = 20 106 Па = 20 МПа. Максимальное растяжение изгиба

шах изг

= МД^=[(/у/2)(м2/б)] =

= (15 ? 103 • 1,2/2)(0,06 ? 0,13/б)] = 90 М Па.

Опасными окажутся верхние точки сечения, так как в них суммируются нормальные напряжения изгиба и растяжения:

о щах =°р + <7тахизг = 20 + 90 = 110 МПа < 120 МПа.

Максимальные напряжения не превышают допускаемого напряжения, значит, прочность стержня достаточна.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >