МОДЕЛЬ ИДЕАЛЬНОЙ (НЕВЯЗКОЙ) ЖИДКОСТИ

Уравнение движения идеальной жидкости в форме Эйлера

Полагая в уравнениях движения (5.1) и (5.2) касательные напряжения равными нулю и учитывая, что в этом случае:

Рхх = Руу = Рх= ~Р>

получим дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера в проекциях:

г

Л х рдх'

(7.1)

или в векторной форме:

ау_

ЭК ЭК +—- +—1

(7.2)

В случае несжимаемой жидкости система (7.1) вместе с уравнением неразрывности

(7.3)

дх ду дг

является замкнутой.

Решением системы будут функции

р = ї(х,у,г,г), Ух = ї2(х,у,и),

Уу = Їз(х>У>ї>і )• Уг =/л(х»У>Ы),

определяющие векторное поле скорости и скалярное поле давлений для каждого момента времени.

Для нахождения зависимости координат жидкой частицы от времени г и начального положения (координаты х00,го) необходимо проинтегрировать еще одну систему из трех уравнений:

f2( x,y,z,t),

dx

dt

d

щ?

~dt

h (x,y.z,t),

(7.4)

dz.

dt

= fA( x,y,z,t).

В случае сжимаемой жидкости плотность в общем случае является функцией давления и температуры (часто вводят понятие невязкого и нетеплопроводного газа). Для исследования движения жидкости в этом случае необходимо привлечь еще уравнение энергии. В нашем курсе мы ограничимся частным случаем движения сжимаемой жидкости, когда плотность является функцией, зависящей только от давления. Такие жидкости называются баротропны-ми и для них система (7.2) - (7.3) является замкнутой. Для баро-тропной жидкости целесообразно ввести функцию давления Р (х,у,г), определяемую как:

(7.5)

Р Р(Р)

Величина dP являе

тся полным дифференциалом, поэтому

dP _ 1 dp dP _ 1 Эр dP _ 1 др

dx рдх dy рду' dz р dz

(7.6)

gradPgrad р.

Р

Для нахождения частных решений дифференциальных уравнений гидродинамики необходимо задать начальные и граничные условия. Начальные условия состоят в нашем случае в задании поля скоростей в начальный момент времени.

VJx,y,z,t0) = l(x,y,z),

Уу(х,ул^о) = <р2(х,ул), (7.7)

Уг(х,у,г,10) = р3(х,у,г).

В зависимости от конкретной задачи граничные условия могут быть разными.

Рассматривая движение жидкости в области с подвижными поверхностями (например, поршневой насос или цилиндр двигателя внутреннего сгорания), допустим, что жидкость прилегает к стенке, но не протекает через нее. Проскальзывание частиц идеальной жидкости относительно стенок допустимо. В рассматриваемом случае граничное условие будет, очевидно, состоять в том, что скорость перемещения любой точки поверхности и скорость прилегающей к ней частицы жидкости должны иметь одинаковые проекции на нормаль к поверхности.

Если уравнение поверхности будет

F( *, у, 2,0 = 0. (7.8)

то, дифференцируя неявную функцию по и получим искомое граничное условие:

= 0.

Vx + — Vv + — дх ду у dz

Vz+ dt

Э Э ЭF

(7.9)

Следует отметить, что аналитических решений уравнений движения идеальной жидкости известно немного. Численное же решение системы (7.1) ненамного проще, чем решение системы уравнений для вязкой жидкости, более адекватно описывающих реальные процессы. Однако анализ уравнений движения идеальной жидкости позволяет получить целый ряд очень важных для теории и практики результатов.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >