Вращательное движение твердого тела

Вращательным называют такое движение, при котором две точки, связанные с телом, следовательно, и прямая, проходящая через эти точки, остаются неподвижными во время движения (рис. 2.16). Неподвижную прямую А В называют осью вращения.

В. К определению вращательного движения тела

Рис. 2.1В. К определению вращательного движения тела

Положение тела при вращательном движении определяет угол поворота ф, рад (см. рис. 2.16). При движении угол поворота меняется со временем, т.е. закон вращательного движения тела определяется как закон изменения во времени величины двугранного угла Ф = ф(/) между неподвижной полуплоскостью К(), проходящей через ось вращения, и подвижной п1 полуплоскостью, связанной с телом и также проходящей через ось вращения.

Траектории всех точек тела при вращательном движении представляют собой концентрические окружности, расположенные в параллельных плоскостях с центрами на оси вращения.

Кинематические характеристики вращательного движения тела. Аналогично тому, как были введены кинематические характеристики для точки вводят кинематическое понятие, характеризующее быстроту изменения функции ф(с), которая определяет положение тела при вращательном движении, т.е. угловую скорость со = ф = с/ф/с//, размерность угловой скорости [со] = рад/с.

В технических расчетах часто используют выражение угловой скорости другой размерностью — через число оборотов в минуту: [я] = об/мин, а связь между п и со можно представить в виде: со = 27ш/60 = 7ш/30.

В общем случае угловая скорость изменяется во времени. Мерой быстроты изменения угловой скорости является угловое ускорение е = с/со/с//= со = ф, размерность углового ускорения [е] = рад/с2.

Введенные угловые кинематические характеристики полностью определяются заданием одной функции — угла поворота от времени.

Кинематические характеристики точек тела при вращательном движении. Рассмотрим точку Мтела, находящуюся на расстоянии р от оси вращения. Эта точка движется по окружности радиуса р (рис. 2.17).

К определению кинематических характеристик

Рис. 2.17. К определению кинематических характеристик

точек тела при его вращении

Длина дуги MQM окружности радиуса р определяется как s = ptp, где ф — угол поворота, рад. В случае, если закон движения тела задан как ф = ф(г), то закон движения точки М по траектории определяет формула S = рф(7).

Пользуясь выражениями кинематических характеристик при естественном способе задания движения точки, получим кинематические характеристики для точек, вращающегося тела: скорость по формуле (2.6)

V = 5 = рф = рсо; (2.22)

касательное ускорение согласно выражению (2.12)

ят = К = сор = ер; (2.23)

нормальное ускорение по формуле (2.13)

а„ = И2/р = со2р2/р = огр; (2.24)

полное ускорение с использованием выражения (2.15)

а = -]а + а] = рх/е2 + со4. (2.25)

За характеристику направления полного ускорения принимают р — угол отклонения вектора полного ускорения от радиуса окружности, описываемой точкой (рис. 2.18).

Из рис. 2.18 получаем

tgjLi = ajan =ре/рсо2 =г/(о2. (2.26)

Г

Скорость и составляющие полного ускорения точки вращающегося тела

Рис. 2.18. Скорость и составляющие полного ускорения точки вращающегося тела

Отметим, что все кинематические характеристики точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям до оси вращения. Ве-

личины их определяют через производные одной и той же функции — угла поворота.

Векторные выражения для угловых и линейных кинематических характеристик. Для аналитического описания угловых кинематических характеристик вращающегося тела вместе с осью вращения вводят понятие вектора угла поворота (рис. 2.19): ф = ф(/)А:, где к — еди

ничный вектор оси вращения

= 1; к =соп51 .

Направлен вектор ф по этой оси так, чтобы с «конца» его видеть

поворот, происходящим против хода часовой стрелки.

Представление угловых и линейных кинематических

Рис. 2.19. Представление угловых и линейных кинематических

характеристик в векторной форме

Если известен вектор ф(/), то все остальные угловые характеристики вращательного движения можно представить в векторной форме:

  • • вектор угловой скорости со = ф = ф к. Направление вектора угловой скорости определяет знак производной угла поворота;
  • • вектор углового ускорения є = со = ф к. Направление этого вектора определяет знак производной угловой скорости.

Введенные векторы со и є позволяют получить векторные выражения для кинематических характеристик точек (см. рис. 2.19).

Заметим, что модуль вектора скорости точки совпадает с модулем векторного произведения вектора угловой скорости и радиуса-вектора: |сох г = согвіпа = сор. Учитывая направления векторов со и г и правило направления векторного произведения, можно записать выражение для вектора скорости:

(2.27)

V = со хг.

Аналогично легко показать, что

  • ? X Ґ
  • - егБіпа = єр = ат и

сох К

= сосор = со р = я .

(роме этого векторы этих кинематических характеристик совпадают по направлению с соответствующими векторными произведениями.

Следовательно, векторы касательного и нормального ускорений можно представить в виде векторных произведений:

  • (2.28)
  • (2.29)

ах = г х г

а = со х V.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >