Ответы и решения задач
- 1.1. Данное упражнение требует лишь знания цилиндрических и сферических координат, т. к. сводится к записи уравнения (1.2.18) и использованию формулы (1.5.12).
- 1.2. Уравнение (1.2.18) удовлетворяется. Это легко проверить, если учесть, что плотность несжимаемой жидкости постоянна.
- 1.3. Задача решается элементарно, если координатную линию 2 направить по оси, вокруг которой движутся частицы, и при ЭТОМ учесть, ЧТО Ув = Г СУ.
- 1.4. Проверка осуществляется элементарно.
- 1.5. При использовании сферических координат, а также формулы (1.5.12) уравнение (1.2.18) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению для определения щДД), которое легко решается.
- 1.6. Используя формулы, приведенные в § 1.5, можно получить запись уравнения движения в криволинейных координатах [7|
- (IV
вм -еГ+
д(Т1Н2Н3) д(т2НхН3) д(т3нгн2у
НХН2Н з
дді дд2 дд3
и учесть равенства (1.1.2). Для дальнейших преобразований можно учесть соотношения (1.5.3).
- 1.7. Из уравнения движения (1.2.7) следует, что давление изменяется по квадратичному закону.
- 1.8. Запись уравнения (1.2.7) в векторном виде показывает, что V/; направлен в каждой точке по лучу, выходящему из начала координат. Так как жидкость несжимаемая, скорость у л равна д/АпП2. Соответственно, получим
СІУя
сШ
1 гір ~д Ж ’
р = сош! — д
- 32тг2і?4 ‘
- 1.9. Для решения используем уравнения (1.2.7) и (1.2.14), которые примут вид

- (1ух
- (ІХ
- 1 (1р
д (іх '
(Ш

- 1
- — — Ух
о
(1р
сіх
р = С — д ( v(°) + ^ схп ) схп,
H = C2-(vP+[1]-cx^
С X
п
Е = С3,
где СиС2, Сз — константы.
1.10. В соответствии с указанием к задаче в вертикальном канале записывается уравнение
dvz 1 dp
dt 9 q dz '
а в горизонтальном канале —
dvx _ 1 dp
dt gdx
Интегрируя первое уравнение по 2, второе —по х, полагая давление равным нулю при z = z' и х = х', учитывая, что vz = z! и dvz/dt = z', a vx = х! и dvx/dt = х', получим два уравнения:
- — {У -|- g)(z — z'), Plop_ _ ?/ / _ '
- 0 ' 0
Приравнивая значения рвер и ргор в точке 2 = 0, х = 0, будем иметь
—z'(z'+g) = —x'x'. (0-1)
Так как жидкость несжимаемая, в каждый момент времени
Fz' + 2kFx' = HF или z' = Н - 2кх'. (0.2)
Формула (0.2) определяет связь между степенью заполнения вертикального и горизонтального каналов.
Соотношения (0.1) и (0.2) позволяют получить дифференциальное уравнение для определения г'(і)

—н + дЕ = О,
которое нужно решать при начальных условиях 2/(0) = Я,
2/(0) = 0.
В случае, когда к = 1/2, последнее уравнение принимает вид
г'Н + дг' = 0.
Учитывая начальные условия, получим

= Я сой



2.1. В соответствии с указанием к задаче удельная энергия газа определяется выражением

тиг
СУТ.
Отсюда получим

Шк
~2~‘
Согласно (2.1.8), будем иметь


- 1 +
- 2

- 2.2. В одноатомном газе I = 3, поэтому ае = 5/3.
- 2.3. В двухатомном газе имеются две вращательные степени свободы, поэтому I = 5иае = 7/5.
- 2.4. В покоящейся жидкости, находящейся в однородном поле силы тяжести, интеграл (2.2.8) позволяет записать равенство
дг + СрТ — дго + Ср То.
Соответственно, получим
где Ср То = Я0.
Т = Т0
2.5. Используя указание к данной задаче и закон Клапейрона Менделеева, решение задачи 2.4 можно переписать в виде

(0.3)
Адиабата Пуассона, записанная в виде
V Ро

и равенство (0.3) позволяют получить соотношения
- 2.6.
- 2.6.
- 2.7.
- 2.7.

о
ае — 1

о
ае — 1
Постоянство расхода в несжимаемой жидкости приводит к равенству г>2 = т’хА'х/лд. Из интеграла Бернулли следует соотношение

Обозначим скорость понижения уровня в сосуде V, а скорость истечения жидкости через малое отверстие г»о- При этом (см. указание к задаче) будем иметь два равенства:


Соответственно, получим г = ь2г4/(2да4).
Интеграл Лагранжа может быть записан в форме (2.3.14). Если массовые силы не зависят от времени, в результате дифференцирования (2.3.14) по времени вдоль траекторий газовых частиц, учитывая уравнение (1.2.14) и баротропность жидкости па траекториях газовых частиц (см. §2.1), будем иметь
где


В результате всех операций дифференцирования получим уравнение для потенциала скоростей <р
Аїр
1 д2<р
дір дір д2ір
дір д2ір
а2 ді2
а* *—' дхі дхі дхідх,
1,3 = 1
а* *—' дхі дхіді
г=і
= о,
которое в стационарном случае примет вид
= 0.
дір дір д2ір
а* *—' дхі дх, дх.дхі і,з-і

2.9. Решение задачи сводится к вычислению определителя (г,.) = 1,2,3). В результате такого расчета будем иметь

Так как выполняется

тип уравнения (3.2.1) действительно определяется величиной числа Маха.
- 3.1. Формулы (3.1.1)—(3.1.5) проверяются стандартным образом.
- 3.2. а) П = 0;
- б) П = -/'(*) к;
- в) « =
- г) П = (д//дг)з-(д//ду) к.
- 3.3. п = 0.
- 3.4. Имеем ух = дф/дх, уу = дф/ду при ? = ?*. Легко видеть, что справедливо
г дхду дудх
т. е. вектор Г2 лежит в плоскости (х,у).
2А:
и
х
П =
—ку і + кх j + /f(z) — 2к2 (х2 + у2) к
х
2к
/f{z) - 2/с2 (.т2 + у2)
М /Д2) - 2к2 (х2 + у2)
3.6. Уравнение (2.3.1) в стационарном случае имеет вид
V2 1
V--V х И = Е--V».
2 р
В рассматриваемых условиях имеем
V
Vp
v х ft — ^7 — -I-
2 p
v
= V[j + U + H)=0,
t. e. v
ft. Что и требовалось доказать.
3.7. Согласно доказанной в §3.1 лемме, имеем
гіГ
dt
dv
dt
? dr.
В идеальной жидкости, движущейся в консервативном поле массовых сил, получаем
С Г 1
- —— = — ф - р ? (1г = — ф V (1р. V = - .
- (и ./ о J д
I I
Если произведение (1 /g)dp не является полным дифференциалом, можно ввести два семейства поверхностей: р = const и V = const, которые пересекаются так, как показано на рис. 3.8. При этом получим
dT
dt



А
D
V dp.
а) Пусть р = р на линии АВ, У = Уо на линии ВС, р = ро на линии СИ, V — У на линии В А, тогда получаем

= ~Уо (ро -Р)-У (Р1 ~ Ро) = (Р1 ~ Ро) (Уо ~У)-
б) Если р1 = ро + 1, Ух = Уо + 1, выполняется вТ/(И = — 1. При другом расположении изобарических и изостериче-ских поверхностей с1Т/(й = 1.
Соответственно, если контур охватывает Лг+ положительных трубок и ЛГ- отрицательных, приходим к теореме Бьеркнеса:

- (см. замечание к данной задаче).
- 3.8. Заданному распределению скоростей соответствуют: а) вектор вихря скорости

п - к. О < у < у*,
О, у > у*;
б) интенсивность вихревой трубки

5
жо + 1 У*
/ с1х с1у =
I
/
о

о
Интенсивность вихревой трубки не зависит от толщины вихревого слоя, следствием чего является замечание, приведенное в данной задаче.
- [1] - у?- - го) , Яо