Ответы и решения задач

1.1. Данное упражнение требует лишь знания цилиндрических и сферических координат, т. к. сводится к записи уравнения (1.2.18) и использованию формулы (1.5.12).
1.2. Уравнение (1.2.18) удовлетворяется. Это легко проверить, если учесть, что плотность несжимаемой жидкости постоянна.
1.3. Задача решается элементарно, если координатную линию 2 направить по оси, вокруг которой движутся частицы, и при ЭТОМ учесть, ЧТО Ув = Г СУ.
1.4. Проверка осуществляется элементарно.
1.5. При использовании сферических координат, а также формулы (1.5.12) уравнение (1.2.18) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению для определения щДД), которое легко решается.
1.6. Используя формулы, приведенные в § 1.5, можно получить запись уравнения движения в криволинейных координатах [7|
(IV

^вм -^еГ+

д(_Т1Н₂Н₃) д(т₂Н_хН₃) д(т₃н_гн₂у

Н_ХН₂Н з

дді дд₂ дд₃

и учесть равенства (1.1.2). Для дальнейших преобразований можно учесть соотношения (1.5.3).

1.7. Из уравнения движения (1.2.7) следует, что давление изменяется по квадратичному закону.
1.8. Запись уравнения (1.2.7) в векторном виде показывает, что V/; направлен в каждой точке по лучу, выходящему из начала координат. Так как жидкость несжимаемая, скорость у л равна д/АпП². Соответственно, получим

СІУя

сШ

1 гір ~д Ж ’

р = сош! — д

32тг²і?⁴ ‘
1.9. Для решения используем уравнения (1.2.7) и (1.2.14), которые примут вид

(1у_х
(ІХ
1 (1р

д (іх '

(Ш

1
— ^— Ух

(1р

сіх

р = С — д ( v(°) + ^ сх^п ) сх^п,

H = C₂-(vP+^[1]-cx^

С X

Е = С₃,

где С_иС₂, Сз — константы.

1.10. В соответствии с указанием к задаче в вертикальном канале записывается уравнение

dv_z 1 dp

dt 9 q dz '

а в горизонтальном канале —

dv_x _ 1 dp

dt gdx

Интегрируя первое уравнение по 2, второе —по х, полагая давление равным нулю при z = z' и х = х', учитывая, что v_z = z! и dv_z/dt = z', a v_x = х! и dv_x/dt = х', получим два уравнения:

— {У -|- g)(_z — z'), Plop_ _ ?/ / _ '
0 ' 0

Приравнивая значения р_вер и р_гор в точке 2 = 0, х = 0, будем иметь

—z'(z'+g) = —x'x'. (0-1)

Так как жидкость несжимаемая, в каждый момент времени

Fz' + 2kFx' = HF или z' = Н - 2кх'. (0.2)

Формула (0.2) определяет связь между степенью заполнения вертикального и горизонтального каналов.

Соотношения (0.1) и (0.2) позволяют получить дифференциальное уравнение для определения г'(і)

—н + дЕ = О,

которое нужно решать при начальных условиях 2/(0) = Я,

2/(0) = 0.

В случае, когда к = 1/2, последнее уравнение принимает вид

г'Н + дг' = 0.

Учитывая начальные условия, получим

= Я сой

2.1. В соответствии с указанием к задаче удельная энергия газа определяется выражением

тиг

С_УТ.

Отсюда получим

Шк

~2~‘

Согласно (2.1.8), будем иметь

2.2. В одноатомном газе I = 3, поэтому ае = 5/3.
2.3. В двухатомном газе имеются две вращательные степени свободы, поэтому I = 5иае = 7/5.
2.4. В покоящейся жидкости, находящейся в однородном поле силы тяжести, интеграл (2.2.8) позволяет записать равенство

дг + С_рТ — дго + С_р То.

Соответственно, получим

где С_р То = Я₀.

Т = Т₀

2.5. Используя указание к данной задаче и закон Клапейрона Менделеева, решение задачи 2.4 можно переписать в виде

(0.3)

Адиабата Пуассона, записанная в виде

V Ро

и равенство (0.3) позволяют получить соотношения

2.6.
2.6.
2.7.
2.7.

ае — 1

Постоянство расхода в несжимаемой жидкости приводит к равенству г>2 = т’хА'х/лд. Из интеграла Бернулли следует соотношение

Обозначим скорость понижения уровня в сосуде V, а скорость истечения жидкости через малое отверстие г»о- При этом (см. указание к задаче) будем иметь два равенства:

Соответственно, получим г = ь²г⁴/(2да⁴).

Интеграл Лагранжа может быть записан в форме (2.3.14). Если массовые силы не зависят от времени, в результате дифференцирования (2.3.14) по времени вдоль траекторий газовых частиц, учитывая уравнение (1.2.14) и баротропность жидкости па траекториях газовых частиц (см. §2.1), будем иметь

где

В результате всех операций дифференцирования получим уравнение для потенциала скоростей <р

Аїр

1 д²<р

дір дір д²ір

дір д²ір

а² ді²

а* *—' дхі дхі дхідх,

1,3 = 1

а* *—' дхі дхіді

г=і

= о,

которое в стационарном случае примет вид

= 0.

дір дір д²ір

а* *—' дхі дх, дх.дхі і,з-і

2.9. Решение задачи сводится к вычислению определителя (г,.) = 1,2,3). В результате такого расчета будем иметь

Так как выполняется

тип уравнения (3.2.1) действительно определяется величиной числа Маха.

3.1. Формулы (3.1.1)—(3.1.5) проверяются стандартным образом.
3.2. а) П = 0;
б) П = -/'(*) к;
в) « =
г) П = (д//дг)з-(д//ду) к.
3.3. п = 0.
3.4. Имеем у_х = дф/дх, у_у = дф/ду при ? = ?*. Легко видеть, что справедливо

^г дхду дудх

т. е. вектор Г2 лежит в плоскости (х,у).

2А:

П =

—ку і + кх j + /f(z) — 2к² (х² + у²) к

2к

/f{z) - 2/с² (.т² + у²)

М /Д²) - 2к² (х² + у²)

3.6. Уравнение (2.3.1) в стационарном случае имеет вид

V² 1

V--V х И = Е--V».

2 р

В рассматриваемых условиях имеем

v х ft — ^7 — -I^-

2 p

= V[j + U + H)=0,

t. e. v

ft. Что и требовалось доказать.

3.7. Согласно доказанной в §3.1 лемме, имеем

гіГ

? dr.

В идеальной жидкости, движущейся в консервативном поле массовых сил, получаем

С Г 1

—— = — ф - р ? (1г = — ф V (1р. V = - .
(и ./ о J д

I I

Если произведение (1 /g)dp не является полным дифференциалом, можно ввести два семейства поверхностей: р = const и V = const, которые пересекаются так, как показано на рис. 3.8. При этом получим

V dp.

а) Пусть р = р на линии АВ, У = Уо на линии ВС, р = ро на линии СИ, V — У на линии В А, тогда получаем

= ~Уо (ро -Р)-У (Р1 ~ Ро) = (Р1 ~ Ро) (Уо ~У)-

б) Если р1 = ро + 1, Ух = Уо + 1, выполняется вТ/(И = — 1. При другом расположении изобарических и изостериче-ских поверхностей с1Т/(й = 1.

Соответственно, если контур охватывает Л^г+ положительных трубок и ЛГ^- отрицательных, приходим к теореме Бьеркнеса:

(см. замечание к данной задаче).
3.8. Заданному распределению скоростей соответствуют: а) вектор вихря скорости

п - к. О < у < у*,

О, у > у*;

б) интенсивность вихревой трубки

жо + 1 У*

/ с1х с1у =

Интенсивность вихревой трубки не зависит от толщины вихревого слоя, следствием чего является замечание, приведенное в данной задаче.

[1] - у?- - го) , Яо