Ответы и решения задач

  • 1.1. Данное упражнение требует лишь знания цилиндрических и сферических координат, т. к. сводится к записи уравнения (1.2.18) и использованию формулы (1.5.12).
  • 1.2. Уравнение (1.2.18) удовлетворяется. Это легко проверить, если учесть, что плотность несжимаемой жидкости постоянна.
  • 1.3. Задача решается элементарно, если координатную линию 2 направить по оси, вокруг которой движутся частицы, и при ЭТОМ учесть, ЧТО Ув = Г СУ.
  • 1.4. Проверка осуществляется элементарно.
  • 1.5. При использовании сферических координат, а также формулы (1.5.12) уравнение (1.2.18) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению для определения щДД), которое легко решается.
  • 1.6. Используя формулы, приведенные в § 1.5, можно получить запись уравнения движения в криволинейных координатах [7|
  • (IV

вм -еГ+

д(Т1Н2Н3) д(т2НхН3) д(т3нгн2у

НХН2Н з

дді дд2 дд3

и учесть равенства (1.1.2). Для дальнейших преобразований можно учесть соотношения (1.5.3).

  • 1.7. Из уравнения движения (1.2.7) следует, что давление изменяется по квадратичному закону.
  • 1.8. Запись уравнения (1.2.7) в векторном виде показывает, что V/; направлен в каждой точке по лучу, выходящему из начала координат. Так как жидкость несжимаемая, скорость у л равна д/АпП2. Соответственно, получим

СІУя

сШ

1 гір ~д Ж

р = сош! — д

  • 32тг2і?4
  • 1.9. Для решения используем уравнения (1.2.7) и (1.2.14), которые примут вид
  • (1ух
  • (ІХ
  • 1 (1р

д (іх '

  • 1
  • Ух

о

(1р

сіх

р = С — д ( v(°) + ^ схп ) схп,

H = C2-(vP+[1]-cx^

С X

п

Е = С3,

где СиС2, Сз — константы.

1.10. В соответствии с указанием к задаче в вертикальном канале записывается уравнение

dvz 1 dp

dt 9 q dz '

а в горизонтальном канале —

dvx _ 1 dp

dt gdx

Интегрируя первое уравнение по 2, второе —по х, полагая давление равным нулю при z = z' и х = х', учитывая, что vz = z! и dvz/dt = z', a vx = х! и dvx/dt = х', получим два уравнения:

  • -|- g)(z — z'), Plop_ _ ?/ / _ '
  • 0 ' 0

Приравнивая значения рвер и ргор в точке 2 = 0, х = 0, будем иметь

—z'(z'+g) = —x'x'. (0-1)

Так как жидкость несжимаемая, в каждый момент времени

Fz' + 2kFx' = HF или z' = Н - 2кх'. (0.2)

Формула (0.2) определяет связь между степенью заполнения вертикального и горизонтального каналов.

Соотношения (0.1) и (0.2) позволяют получить дифференциальное уравнение для определения г'(і)

—н + дЕ = О,

которое нужно решать при начальных условиях 2/(0) = Я,

2/(0) = 0.

В случае, когда к = 1/2, последнее уравнение принимает вид

г'Н + дг' = 0.

Учитывая начальные условия, получим

= Я сой

2.1. В соответствии с указанием к задаче удельная энергия газа определяется выражением

тиг

СУТ.

Отсюда получим

Шк

~2~‘

Согласно (2.1.8), будем иметь

  • 1 +
  • 2
  • 2.2. В одноатомном газе I = 3, поэтому ае = 5/3.
  • 2.3. В двухатомном газе имеются две вращательные степени свободы, поэтому I = 5иае = 7/5.
  • 2.4. В покоящейся жидкости, находящейся в однородном поле силы тяжести, интеграл (2.2.8) позволяет записать равенство

дг + СрТ — дго + Ср То.

Соответственно, получим

где Ср То = Я0.

Т = Т0

2.5. Используя указание к данной задаче и закон Клапейрона Менделеева, решение задачи 2.4 можно переписать в виде

(0.3)

Адиабата Пуассона, записанная в виде

V Ро

и равенство (0.3) позволяют получить соотношения

  • 2.6.
  • 2.6.
  • 2.7.
  • 2.7.

о

ае — 1

о

ае — 1

Постоянство расхода в несжимаемой жидкости приводит к равенству г>2 = т’хА'х/лд. Из интеграла Бернулли следует соотношение

Обозначим скорость понижения уровня в сосуде V, а скорость истечения жидкости через малое отверстие г»о- При этом (см. указание к задаче) будем иметь два равенства:

Соответственно, получим г = ь2г4/(2да4).

Интеграл Лагранжа может быть записан в форме (2.3.14). Если массовые силы не зависят от времени, в результате дифференцирования (2.3.14) по времени вдоль траекторий газовых частиц, учитывая уравнение (1.2.14) и баротропность жидкости па траекториях газовых частиц (см. §2.1), будем иметь

где

В результате всех операций дифференцирования получим уравнение для потенциала скоростей

Аїр

1 д2

дір дір д2ір

дір д2ір

а2 ді2

а* *—' дхі дхі дхідх,

1,3 = 1

а* *—' дхі дхіді

г=і

= о,

которое в стационарном случае примет вид

= 0.

дір дір д2ір

а* *—' дхі дх, дх.дхі і,з-і

2.9. Решение задачи сводится к вычислению определителя (г,.) = 1,2,3). В результате такого расчета будем иметь

Так как выполняется

тип уравнения (3.2.1) действительно определяется величиной числа Маха.

  • 3.1. Формулы (3.1.1)—(3.1.5) проверяются стандартным образом.
  • 3.2. а) П = 0;
  • б) П = -/'(*) к;
  • в) « =
  • г) П = (д//дг)з-(д//ду) к.
  • 3.3. п = 0.
  • 3.4. Имеем ух = дф/дх, уу = дф/ду при ? = ?*. Легко видеть, что справедливо

г дхду дудх

т. е. вектор Г2 лежит в плоскости (х,у).

2А:

и

х

П =

—ку і + кх j + /f(z) — 2к2 (х2 + у2) к

х

2к

/f{z) - 2/с2 (.т2 + у2)

М /Д2) - 2к22 + у2)

3.6. Уравнение (2.3.1) в стационарном случае имеет вид

V2 1

V--V х И = Е--V».

2 р

В рассматриваемых условиях имеем

V

Vp

v х ft — ^7 — -I-

2 p

v

= V[j + U + H)=0,

t. e. v

ft. Что и требовалось доказать.

3.7. Согласно доказанной в §3.1 лемме, имеем

гіГ

dt

dv

dt

? dr.

В идеальной жидкости, движущейся в консервативном поле массовых сил, получаем

С Г 1

  • —— = — ф - р ? (1г = — ф V (1р. V = - .
  • (и ./ о J д

I I

Если произведение (1 /g)dp не является полным дифференциалом, можно ввести два семейства поверхностей: р = const и V = const, которые пересекаются так, как показано на рис. 3.8. При этом получим

dT

dt

А

D

V dp.

а) Пусть р = р на линии АВ, У = Уо на линии ВС, р = ро на линии СИ, V — У на линии В А, тогда получаем

= ~Уо (ро -Р)-У (Р1 ~ Ро) = (Р1 ~ Ро) (Уо ~У)-

б) Если р1 = ро + 1, Ух = Уо + 1, выполняется вТ/(И = — 1. При другом расположении изобарических и изостериче-ских поверхностей с1Т/(й = 1.

Соответственно, если контур охватывает Лг+ положительных трубок и ЛГ- отрицательных, приходим к теореме Бьеркнеса:

  • (см. замечание к данной задаче).
  • 3.8. Заданному распределению скоростей соответствуют: а) вектор вихря скорости

п - к. О < у < у*,

О, у > у*;

б) интенсивность вихревой трубки

5

жо + 1 У*

/ с1х с1у =

I

/

о

о

Интенсивность вихревой трубки не зависит от толщины вихревого слоя, следствием чего является замечание, приведенное в данной задаче.

  • [1] - у?- - го) , Яо