Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Гидромеханика идеальной жидкости. Постановка задач и основные свойства

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Задачи и упражнения к главе 3

  • 3.1. Проверить справедливость формул (3.1.1)—(3.1.5).
  • 3.2. Определить поле вихрей скорости и вихревые линии в потоках, параллельных оси х (vy = vz = 0): a) vx = Vo + f(x); 6) vx=vQ + f(y); в) vx = v0 + /0); r) vx = v0 + f(y, z).
  • 3.3. Найти вектор вихря скорости, если вектор скорости является линейной функцией радиус-вектора v = vo + кг (движение от перемещающегося источника). Вектор vo и скалярный коэффициент к — постоянные.
  • 3.4. Пусть в какой-то момент времени ?* выражение vxdx + vydy является дифференциалом некоторой функции ф(х,у). Показать, что в момент t* плоскости (х,у) являются вихревыми поверхностями.
  • 3.5. Показать, что при движении, скорость которого определяется формулами

vx = -ку, vy = кх, vz = y/f(z) - 2к22 + у2),

где f(z) — произвольная функция от г, вихрь имеет то же направление, что и вектор скорости. Определить, во сколько раз вектор вихря превосходит вектор скорости.

  • 3.6. Используя уравнение (2.3.1), показать, что вектор вихря скорости параллелен вектору скорости при любом стационарном адиабатическом течении идеальной жидкости в консервативном поле массовых сил.
  • 3.7. Исследовать свойства идеальной жидкости в условиях, когда произведение (1 /д)dp не является полным дифференциалом (жидкость бароклиина, и ее течение сопровождается переносом, выделением или поглощением энергии). Ввести в рассмотрение два семейства поверхностей: р = const (изобарические поверхности) и V = 1/д = const (изостерические поверхности).
  • а) Определить производную dT/dt от циркуляции скорости вдоль контура сечения трубки, ограниченной поверхностями V = Vq, V — V, р — ро и р = р.
  • б) Рассмотреть частные случаи, когда ёТ/(И = 1 или — 1, если У = Уо + 1 и р = ро + 1 (рис. 3.8).

Замечание. Следствием решения задач а) и б) является теорема Бьеркнеса[1]:

^ = ДГ+ — ДГ-сИ

если контур охватывает 7У+ трубок, у которых с1Г/сИ = +1, и АТ~ трубок, у которых с1Г/(іі = — 1.

3.8. Исследовать плоское движение жидкости с распределением скоростей

VI, У < о,

vx<

Vi +

V2—V1

У*

У, 0 <у <у*,

< V2, I/ > У* 5

= 0, = 0.

  • а) Определить вихревое поле течения.
  • б) Вычислить интенсивность вихревой трубки, ограниченной поверхностями х = const, х = const + 1, у = 0 и

У = У*

Замечание. Следствием решения задач а) и б) является вывод о том, что течение с бесконечно тонким вихревым слоем может рассматриваться как течение с тангенциальным разрывом. Тангенциальным разрывом называется поверхность, при переходе через которую касательная составляющая скорости изменяется скачком (см., например, [2]).

  • [1] Vilhelm Bjerknes (1862-1951) — норвежский физик.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>