Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Гидромеханика идеальной жидкости. Постановка задач и основные свойства

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

ВИХРЕВЫЕ НИТИ И ИНДУЦИРУЕМЫЕ ИМИ СКОРОСТИ

В предыдущем параграфе было дано решение задачи о восстановлении поля скоростей по их ротору и дивергенции. Если жидкость несжимаемая и вектор вихря скорости отличен от нуля лишь внутри некоторой замкнутой вихревой трубки объема V (рис. 3.5), формулы (3.5.1) и (3.5.2) примут следующий вид:

сИу V = 0,

го! V =

П{х,у,г), {х,у,г)V,

  • 0, (х, у, г) V.
  • (3.6.1)
  • (3.6.2)

В этих условиях, согласно (3.5.21), будем иметь V{х,у,г) = го! Ш ^

V

г = у/(х - О2 + (У ~ V)2 + (г ~ С)2-

На рис. 3.5 изображена вихревая трубка объема V; а — поперечное сечение трубки; I — ее средняя линия; 1 —единичный вектор касательной к средней линии.

Используя известный метод вычисления интеграла в формуле (3.6.1), можно записать вектор скорости в виде

у(.т, у, г) — —- го! ф с11

47Г

I С7

Применяя к каждому из интегралов по поперечным сечениям а теорему о среднем, получим

I!

(1(7 —

Г

? V* ? С*)

г*

С7

(3.6.4)

ст

где г* определяется формулой (3.6.2) при ? = ?*,?? = ц*, С = С* (?*> ц*, ?* — некоторая средняя точка сечения а).

1

/

Рис. 5.5

Если вихревую линию стягивать к средней линии, на некотором этапе (при достаточно малых сечениях а) приближенно можно считать, что точки ?*, 77*, ?* соответствуют пересечению этих сечений со средней линией I. При этом П(?*, ту*, (*) = ОД, произведение П*сг соответствует потоку вихря скорости через сечение а и определяет интенсивность вихревой трубки Г. При этом вместо (3.6.4) будем иметь приближенное соотношение

которое будет тем точнее, чем меньше сечение вихревой трубки.

В пределе, когда а —> 0, а П* —>• оо, но так, чтобы произведение П*(7 оставалось постоянной величиной Г, вихревая трубка станет вихревой нитью I, а формула (3.6.3) примет вид

(3.6.5)

I

Здесь учтено, что интенсивность Г постоянна вдоль I.

Проекции вектора скорости V определяются формулами

(3.6.6)

V? =

г

  • 47Г
  • 0_ 1И]_д_

дх ./ г ^2/ / г I I

-<и

От координат х,у, г в формулах (3.6.5) и (3.6.6) зависит лишь г (см. (3.6.2)). Вектор 1 зависит лишь от координат ?, ц, ? и не зависит от т, у, 2 (рис. 3.6).

(*>>’> Ф

Поэтому, дифференцируя подынтегральные функции в (3.6.6), получим выражения

Уу = ~

Г

47Г

У-Г]

Ъг '

3 ^ 1у 1 с11

Г

  • 47Г

Г

г_

47Г

г

Г

Если вынести за скобки множитель — 1/г2, получим компоненты векторного произведения двух единичных векторов 1 и г/г, г = (.т — ?)1 + (у — г/)] + (г — ?)к. Таким образом, формулу (3.6.5) для скорости, индуцируемой вихревой питыо, можно записать в виде

Г ‘ (3.6.7)

V

1 гг

г с11 Ь х -

г/ г

2 '

При этом можно считать, что элемент вихревой нити Д/ порождает в точке (т, у, г) скорость

. Г / г сИ

Дv = — I 1 X - ) —.

47Г

Эта скорость равна по величине

г / г

(3.6.8)

I д | г 1

|Ау| = — Ыпю:

4тг 66

Здесь а —угол между векторами і и г (рис. 3.6).

Формула (3.6.8) аналогична формуле Био[1]—Савара[2] (см., например, [22])

ДВ

д/

~^2

(3.6.9)

которая определяет индукцию магнитного поля В, обусловленную электрическим током, текущим в направлении единичного вектора I по элементу проводника А1. Вектор г проведен от элемента Д/ в исследуемую точку пространства. Вместо циркуляции Г в формуле (3.6.9) присутствует произведение магнитной постоянной до на силу тока I.

Формула (3.6.7) была выведена для замкнутой вихревой нити. Однако предположение о том, что каждый элемент нити индуцирует скорость Дv, определяемую соотношением (3.6.8), дает основание считать, что формула (3.6.7) может применяться и в случае бесконечной вихревой нити. Такое ее применение рассматривается во многих курсах гидроаэромеханики (см., например, |2|).

В настоящем пособии, как и в курсе лекций [1], мы ограничимся рассмотрением прямолинейной бесконечной нити.

Итак, пусть через точку (?, ?/) в плоскости (х, у) проходит вихревая пить, параллельная оси 2 (рис. 3.7).

Z

  • -* У
  • (?,Л)

I I I

Рис. 3.7

В этих условиях формула (3.6.7) приобретает вид

+оо

v = T f^dс.

47Г

г

  • (3.6.10)
  • — ос

Так как tx = ty = 0 и лишь tz = 1, вектор v имеет проекции

-hoc

VX=-^(V~V) J%

  • — оо
  • -hoc
  • (3.6.11)
  • — ОС'

Формулы (3.6.11) описывают плоские течения.

Вводя обозначение г = у/{х — ?)2 + (у — г;)2, можем переписать интеграл, входящий в (3.6.11), в виде

-hoc

dC

гз

-hoc

d{C - *)

  • — oo
  • — oo
  • (F + (2-C)2)3/2'

Вычисляя этот несобственный интеграл, получим [23, 24]

  • -hoc
  • (3.6.12)
  • *

r d(

Г

— ОС'

Подставляя (3.6.12) в (3.6.11), будем иметь

Г я:-С

гь, = --——. v9 = 0.

(3.6.13)

Г У-Г]

  • 27Г Г2У 27Г г2 Записывая уравнения для линий тока (см. [1-6]), получим
  • (1х (1у

У -7] X - € '

Отсюда следует, что жидкие частицы движутся со скоростью V = Г/(27гг) по концентрическим окружностям

2 + (у -у)2 = г2, (3.6.14)

которые расположены в плоскостях, параллельных плоскости (х, у). Центры всех этих окружностей находятся в точке пересечения соответствующей плоскости с перпендикулярной к ней прямолинейной вихревой нитью.

Таким образом, бесконечно тонкая прямолинейная вихревая нить является причиной возникновения плоских течений от точечного вихря с циркуляцией Г.

  • [1] Jean-Baptiste Biot (1774-1862) — французский ученый, физик, астроном.
  • [2] Felix Sa.vart (1791-1841) — французский физик.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>