Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ ПО ВИХРЮ И ДИВЕРГЕНЦИИ

Вектор вихря скорости О = rotv. Поэтому вихревое поле определяется свойствами поля скоростей. При этом наблюдается и обратное влияние вихревого поля на поле скоростей. Определению такого влияния посвящен настоящий параграф.

Определение поля скоростей по их ротору и дивергенции позволяет исследовать взаимное влияние соответствующих полей.

Пусть заданы скалярная функция

О (х, у, z, t) = divv (3.5.1)

и векторная функция

Q(x,y,z,t) = rotv. (3.5.2)

Требуется найти векторную функцию v (х, у, z, t).

Для корректной постановки задачи необходима справедливость соотношения (см. (3.1.3))

div Г2 = 0, (3.5.3)

а также правильная постановка граничных условий.

Если поле скоростей исследуется в некотором объеме V, ограниченном поверхностью Б, то задается условие

уп3 = уп(М,і) , (3.5.4)

где ьп(М, ?)—нормальная составляющая скорости поверхности 5 в точке М в момент времени і. При этом в каждый момент времени должно быть выполнено условие

(М, t) dS =

  • 0 (.т, у, z, t) dV,
  • (3.5.5)

которое следует из теоремы Гаусса—Остроградского.

Если нужно определить поле скоростей вне поверхности й1, наряду с условием (3.5.4) нужно задать условие

V

= voc (?).

(3.5.6)

Следует иметь в виду, что время I можно рассматривать как параметр и в дальнейшем не акцентировать внимание на соответствующей зависимости.

Рассмотрим решение уравнений (3.5.1) и (3.5.2), когда выполнено условие (3.5.3), жидкость занимает все пространство и покоится на бесконечности, т. е.

ОС

V _ = 0.

ОС

(3.5.7)

V будем искать в виде суммы (см.,

например, [1])

V = VI + V2.

(3.5.8)

г) удовлетворяет уравнениям

сігу^і = 0 (х,у,г), го^!=0

(3.5.9)

э = 0, а V2 (х, у, г) — уравнениям

с1п^2 = 0, го^2 = ГІ (х,у,г)

(3.5.10)

при условии 'У'21^ = 0.

Тогда в силу линейности уравнений (3.5.1) и (3.5.2) векторная функция (3.5.8) удовлетворяет этим уравнениям и условию (3.5.7).

Начнем с определения векторной функции VI (.т, у, г). Учитывая второе уравнение (3.5.9) и формулу (3.1.1), будем искать VI в виде

(3.5.11)

Подставляя (3.5.11) в первое уравнение (3.5.9), придем к уравнению Пуассона

д^уэ д^уэ д^уэ

= + + а? = 6 'у' ^' (3'5,12)

Таким образом, задача определения VI свелась к решению уравнения Пуассона (3.5.12) при условии = 0.

Решение этой задачи известно из математической физики (см., например, [20]). Оно определяется так называемым ньютоновым потенциалом

+ ОС

(3.5.13)

t 1 /77 ©(?>*?> О j, j ^

/ // ---at; dr] аф

— ОС'

где г = /- О2 + (:У - V)2 + (г- С)2-

В курсах математической физики доказывается, что функция (3.5.13) является единственным решением уравнения Пуассона, стремящимся па бесконечности к пулю, если О (х, у, г) — ограниченная, кусочно-гладкая функция, которая стремится к нулю при Я = у/х2 + у2 + г2 —> ос как 1 2+а, а > 0.

Согласно формуле (3.5.11), можем записать

-hoc

VI (ж, у, z)

— оо

e&g.C)

г

ri? (hj d(.

(3.5.14)

Перейдем К определению векторной функции У2 (х,у,г). Учитывая первое уравнение (3.5.10) и формулу (3.1.3), будем искать V2 (х, у. г) в виде

V2=rotA. (3.5.15)

Подставляя (3.5.15) во второе уравнение (3.5.10), получим

rot rot А = П (.т, у, z).

Используя формулу (3.1.5), можем записать

АА — VdivA = — ft (х, у, z). (3.5.16)

Таким образом, задача определения V2 сводится к решению уравнения (3.5.16). При этом А —» 0, когда R —> оо.

Уравнение (3.5.16) примет вид

ДА = —fl(x,y,z), (3.5.17)

если справедливо

clivA = 0. (3.5.18)

Применяя к обеим частям уравнения (3.5.17) операцию сНу и учитывая соотношение (3.5.3), получим равенство

сИуДА = ДсМуА = О,

из которого следует, что сИуА есть функция, гармоническая во всем пространстве и стремящаяся к нулю на бесконечности. Из математической физики известно (см., например, [20]), что такая функция может быть только тождественным нулем.

Итак, вектор-функция А (х,у,г), удовлетворяющая уравнению (3.5.17) и стремящаяся к нулю на бесконечности, автоматически удовлетворяет соотношению (3.5.18). Это означает, что она является решением уравнения (3.5.16) при заданном граничном условии.

В проекциях на оси координат уравнение (3.5.17) дает уравнения Пуассона

ААХ -

X?

./4 у - П у ,

Выписывая ньютонов потенциал для каждой проекции Ах, Ау и А2, умножая полученные выражения на соответствующие орты и складывая, получим

А =

і Тгт{(,п,0

4-7Г

— ОС

г

с1? сЬ/ с1(.

(3.5.19)

Подставляя (3.5.19) в (3.5.15), будем иметь

  • 4-ос
  • (3.5.20)

У2 (X, у, г) = гЫ /ТУ 5 (іг,1 (1(.

— ОС

Имея формулы (3.5.8), (3.5.14) и (3.5.20), можем записать

4-ос 4-ос

у = grad /// 7 ^ го! // / ^ (іу(іС (3.5.21)

  • — ос
  • — ос

Таким образом, задача восстановления поля скоростей по их ротору и дивергенции решена.

Единственность полученного решения можно доказать, действуя от противного.

Предположим, что наряду с решением (3.5.21) существует другое решение v'. Тогда разность u = v — v' удовлетворяет уравнениям

divu = 0, rotu = 0 (3.5.22)

и равна нулю на бесконечности.

Согласно (3.5.22), будут справедливы соотношения

u = Vt/>, divu = divV-0 = Аяр = 0. (3.5.23)

Если теперь применить оператор градиента ко второму соотношению (3.5.23), будем иметь равенство

V (Аф) = А (V-0) = Au = 0. (3.5.24)

Согласно (3.5.24), векторная функция u (x,y,z), обращающаяся в ноль на бесконечности, является гармонической функцией. Отсюда следует и = 0 и V = v'.

Единственность решения (3.5.21) доказана.

Замечание. При восстановлении по ротору и дивергенции поля скоростей в области, ограниченной поверхностью 5, можно использовать решение (3.5.21), полученное для безграничной области.

В этих условиях вектор скорости V можно искать в виде

V = Vp + rot А + и,

где — ньютонов потенциал (3.5.13), А — вектор-функция, определяемая соотношением (3.5.19), а ? удовлетворяет уравнениям (3.5.22). Поэтому будем иметь

V = V

Vip. (3.5.25)

Соответственно, граничное условие (3.5.4) примет вид

dip

дп

дгр

дп

+ rotn А с +

= vn (М, t). (3.5.26)

Согласно (3.5.23), ф является гармонической функцией. Нормальная производная этой функции на границе определяется соотношением (3.5.26). Таким образом, для определения яр в формуле (3.5.25) имеем задачу Неймана[1] (см. [21]).

Следует отметить, что влияние вихревого поля па поле скоростей жидкости определяется формулой (3.5.20). С помощью этой формулы можно исследовать скорости, индуцируемые различными вихревыми образованиями.

Одним из наиболее важных применений формулы (3.5.20) является задача определения скоростей, индуцируемых вихревой питыо.

  • [1] Саг1 Gottfried Neumann (1832-1925) — немецкий математик.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>