УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ВИХРЯ

В предыдущем параграфе обсуждались причины возникновения и исчезновения вихрей в идеальной жидкости.

Для описания изменения вихревого поля и получения уравнения для вихря можно использовать уравнение Эйлера в форме Громеки—Лэмба (2.3.1).

Применяя к обеим частям этого равенства операцию rot и учитывая обозначение (2.3.2), получим

  • (3.4.1)
  • (3.4.2)
  • (3.4.3)

+ rot ^V —^ — rot(v х ft) — rot F — rot Vp ). Из формул (3.1.1)—(3.1.4) следуют соотношения

V

rot ( V ) =0,

rot f — Vp ) = - rot(Vp) —^7 Vo xVp = — 4rVo x V»,

Q J Q Q2 Q2

rot(v x fi) = (fi -V) v — (v -V) ft + v divO — ft divv =

= (ft ? V) v — (v • V) ft — Odivv. (3.4.4)

Подставляя (3.4.2)-(3.4.4) в (3.4.1), используя обозначение dft/dt (см. (1.2.4)) и перенося в правую часть полученного уравнения отрицательные слагаемые, придем к уравнению Фридмана[1] для вихря

dft 1

——|- ft divv = (ft -V) v + rot F H—rVo x Vp. (3.4.5)

dt qz

Уравнение (3.4.5) описывает изменение вихря скорости в идеальной жидкости, когда массовые силы не консервативны и течение нельзя считать адиабатическим.

Если массовые силы консервативны и справедливо соотношение F = — V?/, выпопяется равенство rotF = 0. В этих условиях уравнение (3.4.5) примет вид

-P+ftdivv = (ft-V)v+ ^VgxVp. (3.4.6)

at gz

Если течение является адиабатическим, то справедливо равенство (2.2.6). При этом, согласно термическому и калорическому уравнениям состояния (1.2.10) и (1.2.15), можно считать, что удельная энтальпия Н зависит от координат и времени через функции р(г, ?) и p(r,i), поэтому можно записать

(3.4.7)

В фиксированный момент времени, когда t = const, имеем

dp = Vp • rir, dg = Vp • гіг,

причем приращение d,r может быть произвольным. Отсюда следует, что при адиабатических течениях градиенты давления и плотности связаны соотношением

(3.4.8)

дН/др-1/д

Vfi= Ш/а~в Vp

Это означает, что справедливо равенство

  • 1 1 dH/dp -1/q
  • -VgxVP=? эя/ае (Vp х Vp) = 0.

Соответственно, уравнение (3.4.6) перейдет в уравнение Гельмгольца

——1- Г2 сИуу = (П • V) V, (3.4.9)

И/ и

которое было получено для вихря в идеальной и баротропной жидкости, движущейся в консервативном поле массовых сил.

В случае несжимаемой жидкости, когда уравнение неразрывности имеет вид (1.2.18), уравнение Гельмгольца (3.4.9) примет вид

^ = (« • V) v. (3.4.10)

CLL

Во многих книгах (см., например, [2]) отмечается, что теоремы Гельмгольца, о которых шла речь в §3.2, можно доказать, используя уравнение (3.4.9).

  • [1] Александр Александрович Фридман (1888-1925) — российский и советский математик, физик и геофизик.