Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

СОХРАНЕНИЕ ВИХРЕВЫХ СВОЙСТВ

Лемму из предыдущего параграфа можно применить для доказательства целого ряда теорем [17].

Теорема 1 (аналог теоремы Томсона[1]). При адиабатическом движении идеальной жидкости в консервативном поле массовых сил циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру не зависит от времени.

Доказательство. В идеальной жидкости ускорение ш, которое присутствует в формуле (3.1.16), удовлетворяет уравнению Эйлера (1.2.7), т. е.

ъ=(-^=? --Чр. (3.2.1)

сИ в

В результате подстановки (3.2.1) в (3.1.16) будем иметь

с/Г

дд

= ф ? ? дг —

  • - V]} • с/г. 9
  • (3.2.2)

В консервативном поле массовых сил Е = —V// справедливо равенство (2.2.3).

Так как интегралы в формуле (3.2.2) вычисляются в фиксированные моменты времени, сИ = 0 и справедливо соотношение

(2.2.4). В §2.3 было показано, что в этих условиях для адиабатических течений из уравнения энергии (1.2.14) следует равенство (2.2.6), которое справедливо во всей области течения и имеет вид

дН = - др.

9

Все это позволяет записать

с/Г си

дН = 0.

I I

(3.2.3)

Здесь использовано известное утверждение из математического анализа, что криволинейный интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала любой функции равен нулю (см., например, |9|). Из формулы (3.2.3) следует равенство

Г = сопнЕ

Это означает, что циркуляция скорости по любому жидкому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, не зависит от времени и остается постоянной во все время движения. Теорема доказана.

Следствие 1. Согласно формуле Стокса (3.1.10) для потока вихря скорости и теореме 1, при адиабатическом течении идеальной жидкости в консервативном поле массовых сил поток вихря скорости через любой участок поверхности, движущейся вместе с жидкостью, не зависит от времени.

Следствие 2. Согласно следствию 1, в условиях справедливости теоремы 1 жидкая поверхность, которая является вихревой в какой-то момент времени ф, была и будет вихревой во все предыдущие и последующие моменты времени.

Действительно, из определения вихревой поверхности следует, что в момент ?о поток вихря скорости через любой сколь угодно малый участок а этой поверхности равен нулю. Предположим, что в какой-то момент времени в некоторой точке А рассматриваемой поверхности вектор вихря скорости не лежит в касательной плоскости к поверхности и Пп|4 ф 0. В силу непрерывности на поверхности существует некоторая малая окрестность <т* точки А, в которой Пп не только отличается от нуля, но и имеет такой же знак, как и в точке А. При этом получаем соотношение

которое противоречит предыдущему следствию, а значит и самой теореме 1.

Еще одно следствие теоремы 1 имеет столь важное значение, что его можно сформулировать как самостоятельную теорему.

Теорема 2 (аналог теоремы Лагранжа). Если в рассматриваемой массе идеальной жидкости, котюрая движется адиабатически в консервативном поле массовых сил, в какой-то момент времени ?о мет вихрей, то их не было и не будет в этой жидкости во все предыдущие и последующие моменты времени.

Доказательство. Если в момент времени to течение является безвихревым, то справедливо

П = rot v = 0.

Это означает, что в этот момент поток вихря скорости через любую поверхность, которая находится в объеме, занимаемом жидкостью, равен нулю. При этом, опираясь на следствие 1 теоремы 1, можно утверждать, что во все другие моменты времени поток вихря скорости через каждую поверхность S в рассматриваемом объеме жидкости также равен пулю, т. е.

(3.2.4)

s

Поскольку интеграл (3.2.4) равен нулю при любой поверхности 5, это возможно лишь тогда, когда « = 0 во всей области, занимаемой исследуемой массой жидкости. Теорема доказана.

Теоремы 1 и 2 показывают, что при определенных условиях течение жидкости, безвихревое в начальный момент времени, сохраняет это свойство в последующие моменты времени.

Согласно второму следствию теоремы 1, при адиабатическом течении идеальной жидкости в консервативном поле массовых сил вихревые поверхности сохраняются при переходе от одного момента времени к другому. В этих условиях может быть доказана теорема (аналог первой теоремы Гельмгольца о вихрях).

Теорема 3. При адиабатическом теченгш идеальной жидкости в консервативном поле массовых сил жидкие частицы, образующие вихревую линию в какой-то момент времени Ьо, образуют вихревую линию во все предыдущие и все последующие моменты времени.

Доказательство. Пусть линия Л о Во является вихревой в момент ?о-

В §3.1 говорилось о том, что вихревую поверхность можно получить, проводя вихревые линии через каждую точку кривой, которая не является вихревой.

Именно таким способом построим две вихревые поверхности, пересекающиеся по линии ЛоВо (рис. 3.3). Сначала выберем какую-нибудь точку М на линии Л о Во и проведем две пересекающиеся

кривые МN и МР, не являющиеся вихревыми. Затем через каждую точку этих кривых проведем вихревые линии. В результате

с(0) с(0)

получим две вихревые поверхности 6, ' И ^2 ,

Рис. 3.3

В момент времени ? линия АоВо перейдет в линию АВ, а жидкие поверхности 5^ и 5^ перейдут в поверхности и 52. Согласно

следствию 2 из теоремы 1, эти поверхности будут вихревыми. Жид-

с(0)

кие частицы, которые принадлежали сразу двум поверхностям 5}

и Б'^ и линии А()Во, будут принадлежать двум поверхностям 51 и 5'2 и линии АВ.

Вектор вихря П в любой точке АВ должен лежать в касательных плоскостях к каждой из поверхностей 51 и 5г, а значит, направлен по касательной к линии их пересечения АВ. Отсюда следует, что эта линия является вихревой. Теорема доказана.

В §3.1 было дано определение вихревой трубки. Следует отметить, что вихревые трубки являются важными образованиями, которые используются в технологических процессах и наблюдаются в природе. Например, при таких грозных атмосферных явлениях, как смерчи или торнадо, ядро восходящего потока приближенно можно считать локализованным внутри некоторой вихревой трубки.

В наших условиях также может быть доказана теорема (аналог второй теоремы Гельмгольца о вихрях).

Теорема 4. При адиабатическом течении идеальной жидкости в консервативном поле массовых сил циркуляция скорости по замкнутому контуру, охватывающему вихревую трубку, не зависит от положения контура на поверхности трубки и от времени.

Доказательство. Пусть имеется некоторая вихревая трубка. Пересечем эту трубку двумя произвольными поверхностями. В результате образуется жидкий объем V, ограниченный частью боковой поверхности трубки Е и участками секущих поверхностей и Линии пересечения секущих поверхностей с боковой поверхностью трубки, ограничивающие участки 5х и этих поверхностей, обозначим 1 и /2 (рис. 3.4).

Рис. 3-4

Поток вихря через поверхность 5 объема V имеет вид

fln dS = JJ (flx cos (гг, х) + fly cos (гг, у) + flz cos (гг, z)) dS,

(3.2.5)

где п —внешняя нормаль к поверхности S, ограничивающей объем V.

Левую часть (3.2.5) можно переписать следующим образом:

fin dS

"п і і і О» dS 4-Si Е S2

ап d.s

ап ds +

ап ds.

(3.2.6)

Здесь учтено, что fln = 0 на вихревой поверхности Е.

Правую часть (3.2.5) можно преобразовать, используя формулу Гаусса—Остроградского. В результате получим

+

div ft dV = ?.

(3.2.7)

Здесь учтена формула (3.1.3), согласно которой имеем

сНу Л = сНу иД V = 0.

Приравнивая (3.2.6) и (3.2.7), получим

Пп (13

6'1

Пп с1Б = 0.

(3.2.8)

Здесь следует иметь в виду, что векторы нормали П1 и П2 направлены в противоположные стороны. Если пас интересуют потоки вихря скорости в определенном направлении, можно ввести П1 = — П1 (см. рис. 3.4) и записать равенство

(3.2.9)

Используя формулу Стокса (3.1.10), можем переписать соотношение (3.2.9) в виде

(3.2.10)

Здесь обход контуров 1 и 12 осуществляется в одном направлении.

Из формулы (3.2.10) следует, что циркуляция скорости по любому контуру, охватывающему трубку, не зависит от положения контура. Условия данной теоремы совпадают с условиями теоремы 1, поэтому эта циркуляция не зависит также от времени. Теорема доказана.

Замечание 1. Теоремы Томсона, Лагранжа и обе теоремы Гельмгольца были доказаны при условиях, что жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны (см., например, [1]).

Условие баротропиости в виде (1.2.16) позволяет ввести функцию (2.3.7), полным дифференциалом которой является выражение с1р/д. Это и было использовано Томсоном при доказательстве теоремы. Как отмечалось в §2.3, условие адиабатичности является более слабым и легче проверяется в газах с физико-химическими процессами, чем условие баротропиости.

Теорема 2, как и теорема Лагранжа, представляет основу для рассмотрения безвихревых течений идеальной жидкости.

Замечание 2. Поток вихря скорости через поперечное сечение вихревой трубки равен циркуляции скорости по контуру, охватывающему это сечение. Поэтому соответствующую циркуляцию называют интенсивностью вихревой трубки.

Из теоремы 4 следует, что при адиабатическом течении идеальной жидкости в консервативном поле массовых сил интенсивность вихревой трубки есть величина постоянная.

Этот результат соответствует утверждению Гельмгольца о том, что интенсивность вихревой трубки постоянна по ее длине и не зависит от времени, если жидкость идеальная, баротропная и массовые силы консервативны.

Замечание 3. Следует отметить, что в земных условиях теоремы 1-4 являются приближенными, как и теоремы Томсона, Лагранжа и Гельмгольца. Это связано с тем, что массовые силы будут консервативными только в том случае, когда можно пренебречь влиянием сил Кориолиса[2].

  • [1] УПНат ТЬотБоп (1824-1907), с 1892 г. лорд Кельвин — британский физик и механик.
  • [2] Са8раг4-Си81.аус с1е СопоИб (1792-1843)—французский математик, механик и инженер.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>