Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

ВИХРЕВЫЕ СВОЙСТВА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

В предыдущей главе были введены интегралы движения идеальной жидкости. Необходимым условием существования интеграла Лагранжа является отсутствие вихрей, когда ft = 0. При этом естественно возникает вопрос: при каких условиях течение, которое являлось безвихревым в некоторый момент времени, сохраняет это свойство в дальнейшем?

Если вектор вихря скорости ft во всей области течения или в какой-либо ее части отличен от нуля, возникает целый ряд вопросов о том, как вихревые образования изменяются со временем и как они влияют па характер движения жидкости.

В настоящей главе приводятся результаты исследований, которые позволили дать ответы па многие из перечисленных вопросов.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ КИНЕМАТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА

В кинематике жидкости была доказана теорема Гельмгольца[1] о скоростях и перемещениях точек жидкой частицы (см., например, [1-6]). В этой теореме было показано, что угловая скорость, с которой жидкая частица вращается вокруг точки, выбранной за полюс, равна половине вектора вихря скорости ft = rotv.

При изучении вихревых свойств жидкости могут найти применение известные формулы векторного анализа (см., например, [8]):

rot (Va) = 0, (3.1.1)

rot (aA) = a rot А + Va х А, (3.1.2)

divrotA = 0, (3.1.3)

rot (А х В) = (В • V) A - (A - V)B + AdivB -BdivA, (3.1.4)

rot rot А = V (divA) — ДА. (3.1.5)

Здесь а — произвольная скалярная функция координат и времени; А и В — произвольные вектор-функции тех же аргументов; оператор В • V определяется соотношением

В V = вх

д_

дх

д

Исследование вихревого поля можно провести методами, подобными методам исследования поля скоростей.

По аналогии с введенными ранее линиями и поверхностями тока в кинематике вводятся в рассмотрение вихревые линии и поверхности.

Вихревой линией называется линия, у которой в рассматриваемый момент времени направление касательной в каждой точке совпадает с направлением вихря в этой точке (рис. 3.1).

О

Рис. 3.1

с/г О

Проектируя векторы с?г (приращение по касательной) и П на координатные оси и рассматривая полученные подобные треугольники, получим уравнение вихревой линии

сіх сіу йг

(3.1.6)

Особой точкой для уравнения (3.1.6) является точка, в которой

‘У

пх = а, = = о.

Легко показать, что через каждую точку, которая не является особой, проходит одна и только одна вихревая линия [1, 2, 6].

Поверхность называется вихревой, если в каждой ее точке вектор вихря скорости лежит в касательной плоскости.

Согласно этому определению, в любой точке вихревой поверхности справедливо соотношение

(3.1.7)

П • п = 0,

где Г? — вектор вихря скорости, ап — единичный вектор нормали к поверхности.

Вихревую поверхность можно получить, например, проведя вихревые линии через каждую точку некоторой кривой, не являющейся вихревой.

Если вихревые линии провести через каждую точку замкнутой кривой, полученная вихревая поверхность называется вихревой трубкой.

Подобно тому, как при изучении поля скоростей вводились понятия циркуляции скорости Г вдоль заданной кривой АВ

V • бг =

их бх + уубу + у2 бг

(3.1.8)

АВ АВ

и потока жидкости через определенный участок поверхности 5

V • п 6Б = JJ {ух сов (п, х) + иу сов (гг, у) + уг сов (гг, г)) 6Б. 5 5

в кинематике рассматриваются циркуляция вихря скорости вдоль кривой

П • бг

Пх. бх + Пу бу + бг

АВ АВ

и поток вихря скорости через поверхность 5

П • п 6Б = JJ (Г2Ж соб (п, х) + Пу сов (гг, у) + сов (п, г)) 6Б. 5 5

(3.1.9)

Очевидно, что в силу (3.1.7) поток через вихревую поверхность всегда равен нулю.

Следует заметить, что для решения многих конкретных задач требуется знание потока вихря скорости (3.1.9) через какие-то определенные поверхности, которые не являются вихревыми. Этот поток можно найти (см., например, |9|), используя формулу Стокса

П • п 6Б =

V • бт = Г,

(3.1.10)

где I — замкнутый контур, ограничивающий поверхность Б.

В этих условиях величина циркуляции скорости Г приобретает особое значение. Чтобы понять, как изменяется со временем циркуляция Г, вычисляемая по жидкому контуру, состоящему из одних и тех же жидких частиц, докажем следующую лемму.

Лемма. Производная по времени от циркуляции Г (3.1.8) вдоль кривой АВ, которая перемещается в процессе движения жидкости, определяется формулой

дТ_

да

/ ш • дг +

V

в

(3.1.11)

АВ

где лу = сЫ/дд — ускорение жидкой частицы; V д и у в — скорости жидких частиц на концах кривой АВ.

Доказательство. При вычислении производной

АВ

(3.1.12)

нужно иметь в виду, что кривая АВ изменяется со временем.

Для перехода в интеграле (3.1.8) к переменной, не зависящей от времени, используем подход Лагранжа. В этом подходе рассматривается взаимно-однозначное соответствие между координатами .х’о, у о. го точек, которые жидкие частицы занимали в начальный момент времени , и координатами х, у, г жидких частиц в исследуемый момент времени ?. Переменные хо,уо,2оД называются переменными Лагранжа.

Пусть А()Во —положение в момент б) жидкой кривой, имеющей в момент времени ? вид АВ (рис. 3.2). Координаты любой точки А/о на кривой АцВо можно определить, задавая длину дуги 5 от точки Л о до А/о- Соответственно, будем иметь 5 = 0 в точке Л о и з = 5* в точке Во. Радиус-вектор жидкой частицы в точке Л будет

функцией г = г(0, ?), в точке В — г = г($*, ?), а в любой точке Л/ на кривой АВ — г = г(з,1). При этом полный дифференциал вектора г определяется выражением

В каждый фиксированный момент времени I имеем = 0. Поэтому при интегрировании вдоль кривой АВ справедливо равенство с1т = (дт/дн) <1,ч. Следовательно, можно представить формулу (3.1.8) в виде

в*

Г дг

.1' ?*• ????'

о

В интеграле (3.1.13) пределы интегрирования постоянны, поэтому можно внести дифференцирование под знак интеграла. В результате подстановки (3.1.13) в (3.1.12) и дифференцирования получим соотношение

(3.1.14)

гіГ V (ду дг Л,

И ~ ./ дв' дзді)^

о

В переменных Лагранжа справедливы равенства

дг д[2]г ду

- = V - = — = ш

діді[3] ді

которые позволяют переписать (3.1.14) в виде

  • (1Г
  • (іі

о

у

ду

д.з

о

о

д_

дз

о

ёз. (3.1.15)

Возвращаясь в первом слагаемом (3.1.15) к старым переменным и учитывая, что в момент ? значения я = 0 и в = й* соответствуют точкам А и В, получим формулу, совпадающую с (3.1.11). Л[емма доказана.

Если кривая АВ является замкнутой кривой I (А = В), формула (3.1.11) принимает вид

(3.1.16)

У ? (1г.

Это означает, что производная по времени от циркуляции скорости Г по замкнутому жидкому контуру равна циркуляции ускорения по этому контуру.

  • [1] loHermann Helmholtz (1821-1894) — немецкий физик, врач, физиолог.
  • [2] }} {{47
  • [3] 47
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>