Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Гидромеханика идеальной жидкости. Постановка задач и основные свойства

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНТЕГРАЛА БЕРНУЛЛИ

Интегралы движения, о которых говорилось в §§ 2.1-2.3, применяются при решении многих задач гидроаэромеханики. Так, например, адиабата Пуассона (2.1.10) очень широко используется в газовой динамике. Интеграл Лагранжа играет важную роль при исследованиях безвихревых течений газов и жидкостей. В настоящем параграфе будут рассмотрены два классических примера использования интеграла Бернулли.

Пример 1. Истечение тяжелой несжимаемой жидкости

из сосуда через малое отверстие

Пусть в открытом сверху сосуде находится тяжелая несжимаемая жидкость плотностью д. Площадь открытой поверхности жидкости равна 5. Если в дне сосуда или на боковой поверхности около дна есть отверстие площади 5, то под действием силы тяжести жидкость будет вытекать из сосуда (рис. 2.1).

Уровень жидкости в сосуде будет понижаться, поэтому процесс будет нестационарным. Однако если отношение площадей в/Б <С 1, процесс истечения жидкости можно считать квазистационариым, т. е. приближенно рассматривать его как последовательность стационарных стадий истечения.

На каждой из таких стадий выполнены условия, при которых справедлив интеграл Бернулли. Уровень поверхности жидкости с площадью 5, постоянный на каждой стадии, будет понижаться при переходе от одной стадии к другой. При этом будем считать, что выходное отверстие с площадью 5 находится на нулевой высоте.

Рис. 2.1

Пусть в некоторый момент времени, соответствующий рассматриваемой стадии, высота жидкости в сосуде равна /г. На линиях тока, проходящих через некоторые точки А и В, одна из которых находится па поверхности 5, а другая — в сечении 5, интеграл Бернулли может быть записан в форме (2.2.13). При этом будем иметь равенство

2 9 дд 2 д дд

Давление в точках А я В равно атмосферному:

Ра — Рв — 7^атм*

  • (2.5.1)
  • (2.5.2)

Плотность несжимаемой жидкости в сосуде остается неизменной, что приводит к постоянству расхода, т. е. к соотношению

(2.5.3)

Используя соотношения (2.5.2) и (2.5.3), можем записать равенство (2.5.1) в виде

+ К

V

в

29 52 ' 2 д

Отсюда следует, что скорость истечения жидкости из сосуда определяется формулой

  • 2 дЬ.
  • 1 — 52/52
  • (2.5.4)

Интересно отметить, что предельное значение этой скорости, которое получается, если отношение в/Б в (2.5.4) устремить к нулю,

равно _

V = у/2 дк, (2.5.5)

а формула (2.5.5), как известно, соответствует формуле Торричелли[1].

Пример 2. Истечение совершенного газа из сосуда через малое отверстие под действием внутреннего давления

Пусть в запаянном сосуде, имеющем одно малое отверстие, находится газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона и имеющий постоянные теплоемкости (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Учитывая малость выходного отверстия, нестационарный процесс истечения газа из сосуда будем считать квазистациоиариым, как и в предыдущем примере.

Пусть АВ — линия тока, соединяющая точку А в глубине сосуда с точкой В в выходном отверстии.

В ситуации, когда в газе справедливы соотношения (2.1.5), па траекториях газовых частиц действует адиабата Пуассона (2.1.10). При квазистационарном подходе на каждой стационарной стадии траектории совпадают с линиями тока. Поэтому можно записать равенство

Ра _ Рв Qa Qb'

(2.5.6)

В этих же условиях справедлив интеграл Бернулли в форме

(2.2.15).

Если газ находится в однородном поле силы тяжести и линии тока почти горизонтальны, значения потенциала массовых сил V можно считать одинаковым па всем протяжении линии тока АВ. При этом из формулы (2.2.15) следует соотношение

v se РА 2 se — 1 qa

v% se рв 2 se — 1 qb

(2.5.7)

Если объем сосуда достаточно велик, а выходное отверстие мало, на некотором временном интервале можно считать параметры газа в сосуде постоянными, полагая скорость у а = 0, давление Ра = Ро и плотность дл = до- Пусть при этом рв = р, дв = р и Ув = V — давление, плотность и скорость газа на выходе из сосуда.

В этих условиях интеграл Бернулли (2.5.7) принимает вид

у2 ае

2 ае — 1

(2.5.8)

Из условия адиабатичности (2.5.6) и равенства (2.5.8) получим плотность и скорость газа в вытекающей струе:

у =

  • (2.5.9)
  • (2.5.10)

Формула (2.5.10) имеет смысл, когда р/ро < 1. Физически это соответствует тому, что истечение газа из сосуда происходит лишь тогда, когда давление р па выходе меньше давления ро в сосуде. Легко видеть, что скорость истечения тем больше, чем меньше отношение р/ро-

Для практических целей часто важно знание массового расхода д. Согласно формулам (2.5.9) и (2.5.10), будем иметь

Массовый расход содержит два конкурирующих множителя. Один из них возрастает с увеличением величины ? = р/ро, другой—убывает. При ? = 0 и ? = 1 расход д = 0. Для того чтобы определить поведение расхода д(?) на отрезке [0,1], нужно исследовать поведение функции

/К) = ?2/“(1-^).

Производная этой функции после некоторых преобразований мо жет быть представлена в виде

/Че = |^_1(1-^Саг1)- (2.5.12)

Эта производная обращается в ноль, когда при некотором значении ? = ?* 6 [0,1] выражение в скобках равно нулю. При ? < ?* производная /'(?) > 0, а при ? > ?* производная /'(?) < 0, т. е. функция /(?) при ? = ?* имеет максимум. Соответственно, массовый расход жидкости д, согласно формуле (2.5.11), также имеет максимум при некотором значении отношения давлений р/ро, равном ?*.

Выражение в скобках в (2.5.12) равно нулю, если выполняется

-=(, = (-хт)’1- (2.5ЛЗ)

Ро +1/

Это означает, что массовый расход достигает максимума

Чипах

I ас+1

)’ 'Ров

(2.5.14)

если отношение р/ро давления внутри сосуда к давлению на выходе удовлетворяет соотношению (2.5.13).

Подставляя (2.5.13) в (2.5.10), получим

V

і

Используя (2.5.9), последнее равенство можно переписать в виде

(2.5.15)

Это означает, что расход газа становится максимальным, когда его скорость достигает скорости звука (см. формулу (2.4.10)).

Зависимость массового расхода д от величины ? = р/ро, соответствующая формуле (2.5.11), приведена на рис. 2.3.

Когда ? = 1, т. е. р = ро, истечения газа не происходит (в этом случае д = 0). Оно начинается, когда р < ро- При уменьшении ?

расход увеличивается и достигает максимума при ? = ?* (2.5.13). Расчеты, проведенные при ? < ?* по формуле (2.5.11), соответствуют убывающей ветви графика д(?) на рис. 2.3. При ? = 0 эта ветвь достигает нуля.

Следует отметить, что участок кривой, который соответствует О

Обычно это объясняют тем, что возмущения из внешней среды не проникают внутрь сосуда, т. к. скорость их распространения (скорость звука) будет меньше скорости газа V в вытекающей струе, которая становится сверхзвуковой.

  • [1] Evangelista Torricelli (1608-1647) — итальянский математик и физик.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>