ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА

Опять вернемся к уравнению Эйлера (1.2.7). Левая часть этого уравнения имеет вид

с1у ду ду ду ду ду .

+ — + уу+ = — + (V • V) V.

dt dt

дх

ду

dz dt

Используя легко проверяемое тождество

V

(v-V)v = V—— v х rot v, уравнение (1-2.7) можно записать в форме Громеки10—Лэмба11 (см.

[1-5]):

ду гг 1

——I- V--v х О = F--Vp.

dt 2 q у

(2.3.1)

Здесь использовано обозначение

П = rot v

(2.3.2)

для вектора вихря скорости.

*0Ипполит Степанович Громека (1851-1889) — российский ученый-механик. 11Horace Lamb (1849-1934) — английский математик и гидродинамик.

При безвихревом течении вектор (2.3.2) тождественно равен нулю. Кроме того, из математического анализа известно, что условие П = О является необходимым и достаточным для существования скалярной функции р , у, 2, Ь) такой, что

V«/? = V (х,у,г,г). (2.3.3)

Эта функция называется потенциалом скоростей. Ее полный дифференциал при постоянном г вычисляется по формуле

ар ар

— с1х+— ау + ах ау

дг

с1г = их с1х + иу (1у + иг с1г.

В случае безвихревых течений равенство (2.3.3) позволяет представить уравнение (2.3.1) в виде

или

д_

дЬ

(2.3.4)

Умножая соотношение (2.3.4) в любой фиксированный момент времени на произвольное элементарное приращение

(1г = (1х + ](1у -- dz,

получим равенство

др и

  • 2 1 + — ) = Е • --с1р.
  • 9

Если массовые силы консервативны, то, используя (2.2.3), последнее равенство можем записать в виде

др и

дг

+ — + и) =

  • —— с1р. 9
  • (2.3.5)

Для адиабатических течений из уравнения (1.2.14) было получено равенство (2.2.6), справедливое на траекториях жидких частиц. В фиксированный момент времени г равенство (2.2.6) справедливо

в любой точке пространства при произвольном направлении векто ра дг. Подставляя (2.2.6) в (2.3.5), будем иметь

d

dip v ~dt + ~2

+ U + H

Отсюда следует, что выражение в скобках имеет постоянное значение в любой фиксированный момент времени и может быть представлено в виде

5| + у + а + я = /(<), (2.3.6)

где /(?) — некоторая функция времени.

Таким образом, при безвихревом адиабатическом движении идеальной жидкости в консервативном поле массовых сил справедливо соотношение (2.3.6), которое является одной из форм интеграла Лагранжа[1].

Если жидкость баротропна во всем пространстве, и нам известна функция (1.2.16), можно ввести аналог выражения (2.2.9)

Р(р) =

р*

(2.3.7)

который не меняет своего вида при переходе с одной линии тока на другую.

Используя (2.3.7), можем переписать соотношение (2.3.5), которое справедливо для любого фиксированного момента времени, в виде

d(M + Y + u + Pip]) =0-

Отсюда следует равенство

?^ + ^" + ^ + -Р(р)= / (?)> (2.3.8)

соответствующее еще одной форме интеграла Лагранжа.

При адиабатических течениях баротропной жидкости обе формы (2.3.6) и (2.3.8) интеграла Лагранжа эквивалентны.

Конкретизируем вид интеграла Лагранжа для однородной несжимаемой жидкости и для идеального газа с постоянными теплоемкостями, как это было сделано в § 2.2 для интеграла Бернулли.

В случае несжимаемой жидкости из уравнений неразрывности (1.2.18) и энергии (1.2.9) было получено соотношение (2.2.11), справедливое на каждой из траекторий жидких частиц. В однородной несжимаемой жидкости удельную энергию Е можно считать постоянной и, учитывая равенство (1.2.15), представить интеграл Лагранжа в виде

+ у+^ = т

(2.3.9)

где /($) = / (*) - Е.

В случае идеального газа, когда выполняются соотношения

(2.1.5), для энтальпии справедлива формула (2.1.6). Соответственно, интеграл Лагранжа (2.3.6) принимает вид

д<р

дЬ

+ ^- + и +С

р

/? р

Я д

Используя равенство (2.1.8), будем иметь

др V2

ді 2

+ и +

ее р ее — 1 д

(2.3.10)

Замечание 1. Если течение идеальной, баротропной жидкости в консервативном поле массовых сил не только безвихревое, но и стационарное, то согласно (2.3.8) будем иметь

V2

  • +и + Р{р) = С. (2.3.11)
  • ?

Интеграл (2.3.11) по виду совпадает с интегралом Бернулли (2.2.10), по здесь постоянная С одна и та же во всей области, занятой жидкостью, в отличие от постоянной в интеграле (2.2.10).

Соотношение (2.3.11) впервые было получено Эйлером в условиях, когда жидкость идеальна, баротропна, массовые силы консервативны, течение безвихревое и стационарное. Позднее Бернулли получил соотношение (2.2.10) при более слабых ограничениях: не требовалось отсутствие вихрей и достаточно было баротропности жидкости на линии тока. Поэтому интеграл (2.3.11), полученный из интеграла Лагранжа, обычно называют интегралом Эйлера-Бернулли.

Интеграл Лагранжа (2.3.6) в стационарных условиях также принимает вид

т2

  • + и + Н = С, (2.3.12)
  • ?

где С постоянна во всем потоке.

Замечание 2. Как известно, потенциал скоростей р определяется с точностью до функции времени. Это означает, что его можно заменить функцией

t

р (.т, у, Z,t) = p (ж, у, z,t) ~ J

f(t) dt. (2.3.13)

о

В этих условиях слагаемое dp/dt в интеграле Лагранжа будет равно сумме (Щ + /(?). Отсюда следует, что интеграл Лагранжа

  • (2.3.6) может быть представлен в виде
  • Ш + г4 + и + Н = 0. (2.3.14)

dt 2

Очевидно, интеграл Лагранжа, имеющий форму (2.3.8), и все соотношения, соответствующие его конкретизации для разных типов жидкости, также могут быть записаны с нулевой правой частью.

  • [1] Joseph Louis Lagrange (1736-1813) — французский математик, механик и астроном.