Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Гидромеханика идеальной жидкости. Постановка задач и основные свойства

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

ИНТЕГРАЛ БЕРНУЛЛИ

Уравнение движения идеальной жидкости имеет вид (1.2.7). Умножая скалярно члены этого уравнения на элементарное перемещение dr (dx. dy, dz) вдоль траектории жидкой частицы, будем иметь

  • (]Г 1
  • — • dr = F • dr--Vp • dr. (2-2.1)

dt g 1 v '

Левая часть этого уравнения может быть преобразована следующим образом:

  • (?у , с1г , , (V2 /л л _
  • (1г = -— ? (Ы = V ? (Ы = (1 [ — ). (2.2.2)
  • V 2 )

Если массовые силы консервативны, Е = — Vи (II — потенциал массовых сил). Соответственно, получим

?-с!т= -VIIс!г = -<Щ. (2.2.3)

Если движение стационарное, выполняется равенство

- Vp • dr Q

dp в '

(2.2.4)

получим

(2.2.5)

Подставляя (2.2.2), (2.2.3) и (2.2.4) в уравнение (2.2.1), соотношение

dp

в которое справедливо па траекториях каждой жидкой частицы.

При адиабатическом движении жидкости уравнение энергии может быть записано в виде (1.2.14), откуда следует равенство

в

(2.2.6)

С учетом (2.2.6) соотношение (2.2.5) может быть записано в виде

d

+ U + H

(2.2.7)

Имея (2.2.7), можно утверждать, что па траекториях жидких частиц справедливы равенства

  • + U + H = — + U + E+?- = const. (2.2.8)
  • 2 2 д

При стационарных течениях траектории совпадают с линиями тока.

Равенство (2.2.8), справедливое на каждой линии тока, если жидкость идеальная, массовые силы консервативны, течение установившееся и адиабатическое, является одной из форм интеграла Бернулли[1].

Постоянная в правой части (2.2.8) может изменяться при переходе от одной линии тока к другой.

В предыдущем параграфе было показано, что следствием адиа-батичности течения идеальной жидкости является баротроппость на траекториях жидких частиц (соотношение (2.1.4)). Это соотношение позволяет ввести в рассмотрение функцию

Р (Р, С)

V о

V

Ф (р, С)

(2.2.9)

где ро — давление в исходной точке траектории частицы, р — давление в разных точках ее траектории. Так как дифференциал интеграла с переменным верхним пределом (2.2.9) равен dp/g, соотношение (2.2.5) может быть записано в виде

d/d + u + p(P/j=o.

Отсюда следует равенство

V2

  • + U + Р (р) = const, (2.2.10)
  • ?

справедливое на каждой линии тока.

Равенство (2.2.10) является еще одной формой записи интеграла Бернулли. Для адиабатических течений формы интеграла Бернулли (2.2.8) и (2.2.10) эквивалентны.

Следует отметить, что во многих курсах гидроаэромеханики (см., например, [1, 2|) приводится вывод интеграла Бернулли в форме (2.2.10). При этом вместо адиабатичности течения сразу предполагается баротропность на линии тока. На наш взгляд, вывод интеграла Бернулли в форме (2.2.8) позволяет лучше осознать некоторые причинно-следственные связи.

Наличие формул (2.2.8) и (2.2.10) позволяет упростить решение ряда гидродинамических задач за счет выбора в каждом конкретном случае наиболее удобной формы интеграла Бернулли. В частности, использование уравнения энергии в форме (1.2.14) и запись интеграла Бернулли в виде (2.2.8) позволило уточнить некоторые положения гидростатики 1111 и расширить область их применения [12].

Формула (2.2.8), как и (2.2.10), позволяет конкретизировать вид интеграла Бернулли в двух наиболее важных случаях: в несжимаемой жидкости и в идеальном газе.

Рассмотрим однородную несжимаемую жидкость, когда плотность постоянна:

Q = Q* = const.

Используя уравнение неразрывности, которое в этих условиях имеет вид (1.2.18), и уравнение энергии (1.2.9), придем к равенству

(2.2.11)

Из (2.2.11) следует, что на траекториях жидких частиц, которые в стационарном случае совпадают с линиями тока, удельная энергия Е постоянна. Соответственно, интеграл Бернулли (2.2.8) может быть записан в виде

  • --- U + — = С = const. (2.2.12)
  • 2 Q

Если жидкость находится в однородном поле тяжести, когда U = gz — ускорение свободного падения), то согласно (2.2.12) будем иметь равенство

v2 v С

  • --- z ---= — = const. (2.2.13)
  • 2 9 Q9 9

Слагаемое v2/2g = hv соответствует той высоте, на которую может подняться материальная точка, брошенная вертикально вверх со скоростью v, и может быть названо скоростной высотой; второе слагаемое z = hg соответствует так называемой геометрической высоте исследуемой точки пространства; третье слагаемое р/ од = hp соответствует высоте столба жидкости с плотностью д при давлении р, обычно называемой пьезометрической высотой.

Таким образом, в идеальной несжимаемой жидкости, находящейся в однородном поле силы тяжести, интеграл Бернулли соответствует сохранению вдоль линии тока суммы трех высот:

hv + hg + hp = const.

Рассмотрим идеальный газ с уравнением состояния (2.1.5) и постояиными теплоемкостями.

Интеграл (2.2.8) с учетом (2.1.6) может быть записан следующим образом:

+ U + Ср j-- = const. (2.2.14)

Z ll О

Соотношение (2.1.8) позволяет переписать (2.2.14) в виде

2

+ U +

Ср Р

Ср - Су Q

= const

или

v2 тг ае р /п Л .

  • — + U Н---= const, (2.2.15)
  • 2 ае — 1 д

где ае = Ср/Су — показатель адиабаты Пуассона.

Те же формулы (2.2.12) и (2.2.15) можно вывести самостоятельно, используя интеграл Бернулли в форме (2.2.10).

  • [1] Daniel Bernoulli (1700-1782) — швейцарский физик, механик и математик.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>