Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Гидромеханика идеальной жидкости. Постановка задач и основные свойства

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ

Система уравнений (1.2.12) записана в общем виде с учетом того, что положение любой жидкой частицы (физически бесконечно малого объема) определяется радиусом-вектором г.

В декартовых координатах х, у, г радиус-вектор г может быть разложен по ортам ъфк:

г = xi + у] + zk. (1.5.1)

Следует отметить, что во многих задачах положение элементарных жидких объемов более выгодно определять не декартовыми, а криволинейными координатами q, q2, дз-

Поверхности

Qi (г) = const, г = 1,2,3,

называются координатными поверхностями, а линии пересечения двух координатных поверхностей — координатными линиями.

Если в каждой точке касательные к координатным линиям взаимно перпендикулярны, криволинейные координаты называются ортогональными. В этих координатах любой вектор а (г) может быть разложен по трем единичным ортогональным векторам ei, в2 и ез, направленным по касательным к координатным линиям в рассматриваемой точке. Соответствующие равенства будут иметь вид

®г ' — 1> ®г ' ®А' — 6, % "ф- к.

Общий вид уравнений (1.2.1), (1.2.2), (1.2.3) и уравнения переноса внутреннего момента в ортогональных криволинейных координатах приведен в методическом пособии [7]. При выводе этих уравнений использовался метод Эйлера, который основан па применении известных физических законов к системам, отождествляемым с неподвижным в пространстве объемом, через который протекает жидкость.

В настоящем учебном пособии мы также ограничимся рассмотрением ортогональных криволинейных координат.

Основное отличие криволинейных координат от декартовых заключается в том, что направления векторов ех, в2 и ез не являются постоянными и зависят от того, в какой точке они определяются. Поэтому векторные операции в этих координатах могут существенно отличаться от соответствующих операций в обычных прямоугольных координатах.

В данном параграфе приводится ряд известных формул векторного анализа (см., например, [8]), позволяющих описывать течения идеальной жидкости в криволинейных координатах.

Изменение направлений ортов ех, е2 и ез вдоль координатных линий определяется соотношениями

dei

1

<9#,

1

<9#1

д(ц

#2

dq2

е2 -

Яз

dq-6

ез,

де2

1

дн2

1

дН2

дЦ2

Я3

Oq-л

ез -

Ях

dqi

еъ

де3

1

дНз

1

дН-з

ддз

Ях

dqi

ех -

я2

dq2

е2-

(1.5.3)

Величины Hi называются коэффициентами Ламе[1] и определяются по формуле

(1.5.4)

Для вычисления индивидуальных производных (1.2.4) от гидродинамических параметров А (г, ?) в криволинейных координатах нужно знание векторов дг/дс^., направление которых совпадает с векторами е*, поскольку при дифференцировании по д.; две другие криволинейные координаты считаются постоянными.

Согласно (1.5.1), будем иметь

i = 1,2,3.

дг

dqi

Отсюда следует, что величины векторов $г/$дг; равны коэффициентам Ламе.

Соответственно, справедливо равенство

дг

dqi

i = 1,2,3.

(1.5.5)

Градиент любой функции Ф (сц, с^ #зЯ) может быть представлен в виде

дФ дФ дФ

VФ = —— Угц + — 7(?2 + ^3, (1.5.6)

<У<71 дд2

а полный дифференциал функции Ф можно определить выражением

с/Ф = УФ • с/г.

Тогда, учитывая согласно (1.5.5) выражения

з

dQi = V#; * = ^2 ^С1г *

к=1

получим очевидные равенства

с/г

dqk

dqk = V qt ? Hk ek dqk,

k= 1

V* • e* = 1, V& • Яд, efc = 0, Отсюда следует

(1.5.7)

Vcy, = — e,.

Подставляя (1.5.7) в формулу (1.5.6), получим ™ = wt- + wt- + wit" (L5'8)

H1 <9#i Н2 oq2 Я3 адз

Для вычисления diva в криволинейных координатах удобно применить формулу Гаусса[2]—Остроградского[3] (см., например, [9])

an dS =I j(ax cos (n, x) + ay cos (n, y) + az cos (n, 2)) c/5 =

s

' /' f ( dax d(iy da

v

s

dx dy dz

v

+ —*- + —±)dV = / / / divadV. (1.5.9)

Эта формула справедлива для любого объема V, ограниченного поверхностью 5.

В качестве объема V выберем бесконечно малый криволинейный параллелепипед с гранями, параллельными координатным поверхностям qi = const, г = 1,2,3 (рис. 1.1).

< Ъ

і

Будем считать, что одной из вершин этого параллелепипеда является точка А с координатами УиУ2,Уз- Поток вектора а с координатами <2i,a2, аз через грань параллелепипеда q = const будет равен

  • -ах ds2 ds3qi
  • —а, і Н2 Н3

d(72 dq3.

(1.5.10)

Произведение ds2 ds3 — H2 dq2H3 dq3 соответствует площади криволинейного прямоугольника (считаем, что наш элементарный объем расположен в области возрастающих значений qi = const направлены в противоположную сторону).

Поток через грань q + dqi = const можно представить в виде

аг ds2 ds3ql+dql = а1Н2Н3(]1+с1(]1 dq2 dq3. (1.5.11)

Разложим выражение, стоящее в правой части (1.5.11), в ряд Тейлора по степеням dql и ограничимся первым членом этого разложения.

Если затем сложить полученное выражение с правой частью соотношения (1.5.10), получим поток вектора а через две противоположные грани, нормальные к координате Ц. Он будет равен

dqi dq2 dq3.

д(щ Н2Н3)

dqi

Для потоков вектора а через грани, нормальные к координатным линиям (/2 и <73, можно записать аналогичные выражения

д(а2Н3 Я,) <9

dqi dq2 dq3,

д (а3НіН2) } ^

---dq і dq2 dq3.

dq3

Складывая выражения для потоков через грани, нормальные координатам ql, q2 и (/з, получим полный поток [)ь. а „/їв, стоящий в левой части формулы (1.5.9).

Интеграл, стоящий в правой части (1.5.9), приближенно можно представить в виде

v

diva dV = divadsi ds2 ds3 = diva HiH2H3 dqi dq2 dq3.

Приравнивая соответствующие выражения и деля полученное равенство па объем параллелепипеда V = HlH2H3dq dq2 dq3: придем к формуле

diva

НіН2Н з

8 (аіН2Нз) д(а2Н3Ні) д_{а3НіН2)

dqi

dq2

dqs )'

(1.5.12)

При вычислении проекций rota на координатные линии следует учитывать, что они направлены в каждой точке по нормали к координатным поверхностям, на которых соответствующая криволинейная координата имеет постоянное значение. Это позволяет использовать формулу Стокса[4] (см., например, [9])

(rot а)^ dS

a - dr, і = 1, 2, З,

(1.5.13)

где St - некоторый участок поверхности qt = const; l — контур, охватывающий этот участок; (rot а)^ — проекции вектора rot а на нормаль к рассматриваемой поверхности; ^ a-dr — циркуляция вектора а по контуру I.

Чтобы получить проекцию вектора rota на координатную линию qi, выберем в качестве контура I па поверхности q = const бесконечно малый прямоугольник ABCD с вершинами A(q2, q3), B(q2 + dq2, q3), C{q2 + dq2, q3 + dq3), D(q2, g3 + dg3) (рис. 1.2).

D {q2, q3+dq3)

Рис. 1.2

В этих условиях левую часть формулы (1.5.13) можно представить в виде

  • (1.5.14)
  • (rot а)-А ds2 dss = (rot а), Н2Н3 dq.2 dq3.

Правая часть формулы (1.5.13) является суммой четырех слагаемых:

а • dr = / а • dr + / а • dr + / а • dr + / а • dr.

ДБ

БС

CD

БД

На линиях АВ и CD изменяются лишь координаты (72? поэтому

У а • г/г + у а • (/г = а2 ds2 - а2 ds2qз+dqз =

ДБ СО

= «2#2| dq2 - а2Н2дз+(1дз dq2.

Опять раскладывая произведение а2#2|д3+^д3 по степеням dqз и ограничиваясь первым членом разложения, получим

ДБ

CD

Действуя таким же образом, будем иметь

а • dr +

DC DA

, 9(a3H3)J 4

а • гіг =---dq3 dq2.

oq2

Складывая полученные выражения, правую часть формулы (1.5.13) можем записать в виде

(1.5.15)

а • с1т =

д(а3Н3) д(а2Н2) , ;

  • —о---о- «42 ад3.
  • 0(12 од з у

Подставляя (1.5.14) и (1.5.15) в (1.5.13) и сокращая обе части равенства па Н2Н3 с1д2 с1д3, получим

  • (го!а)1 =
  • (го^ а) 2 =
  • (го1а)3 =

_ 1 1

(д (а3Н3)

д(а2Н2)

#2#з '

К дЯ2

ддз

выражения получаются для пр<

[е линии:

_ 1 *

(д (аН)

д(а3Н3)

н3н1 '

К дд3

ддх

- 1 1

(д (а2Н2)

д(а1Н1)

нхн2 '

V ддх

дд2

  • (1.5.16)
  • (1.5.17)
  • (1.5.18)

Формулы, которые позволяют производить основные векторные операции в криволинейных координатах, могут применяться при решении различных задач гидроаэромеханики.

  • [1] ^Gabriel Lame (1795-1870) — французский математик, механик, физик и инженер.
  • [2] Johann Carl Friedrich Gauz (1777-1855) — немецкий математик, механик и астроном.
  • [3] Михаил Васильевич Остроградский (1801-1861) — российский математик и механик.
  • [4] George Gabriel Stokes (1819-1903) — английский математик, механик и физик.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>