Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Гидромеханика идеальной жидкости. Постановка задач и основные свойства

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ

Уравнения гидроаэромеханики, представляющие собой запись основных законов сохранения, при отсутствии объемных источников массы и энергии имеют вид 11—5|

о1д (ІІ

+ рбгулг = О,

в

ду

СІІ

= РЕ +

дтх дт„ дт

дЕ

0-Г7 = тх

дх

дч

+

у

сИ

дх

+ т

У

ду

д

ду

+

дг

  • (1.2.1)
  • (1.2.2)

д до + тг • — +

х дЧу дд.

дг дх ду дг

(1.2.3)

Здесь р, V, Е — массовая плотность, скорость и удельная энергия жидкости; Е — сила, действующая на единицу массы. В левых частях уравнений (1.2.1)—(1.2.3) присутствуют материальные (индивидуальные) производные

+ V •

(1.2.4)

Закону сохранения момента количества движения при отсутствии внутреннего момента соответствует условие симметрии тензора напряжений

Т~ік = Ткіі І Ф к. (1.2.5)

Очевидно, что компоненты тензора напряжений (1.1.4) удовлетворяют условию (1.2.5).

Подставляя соотношения (1.1.3) в уравнение (1.2.2), будем иметь

  • 9

(1.2.6)

Уравнение движения (1.2.6) для идеальной жидкости, которое обычно записывается в виде

СІІ

(1.2.7)

называется уравнением Эйлера[1].

Подстановка равенств (1.1.3) и (1.1.5) в (1.2.3) приводит к уравнению

О

  • р сііуу.
  • (1.2.8)

Обычно уравнение энергии (1.2.8) записывают в виде

ЕЕ

сіі

  • - СІІУУ. 9
  • (1.2.9)

Система пяти уравнений (1.2.1), (1.2.7) и (1.2.9) является системой уравнений в частных производных относительно шести неизвестных функций Е и р. Для ее замыкания нужно знать уравнение состояния рассматриваемой жидкости. Обычно это уравнение определяет связь между плотностью ?, давлением р и температурой жидкости Т. Оно называется термическим уравнением состояния и записывается в виде

/ (р, е, Г) = 0. (1.2.10)

В связи с появлением в уравнении (1.2.10) температуры Т для замыкания системы уравнений (1.2.1), (1.2.7), (1.2.9) и (1.2.10) необходимо определить связь этого параметра с введенными ранее параметрами ?>, р и Е. Эта связь известна, если задано соотношение

Е = Е(р,в,Т). (1.2.11)

Уравнение (1.2.11) часто называют калорическим уравнением состояния.

Замечание. Уравнение состояния (1.2.10) позволяет исключить в соотношении (1.2.11) один из параметров и заменить калорическое уравнение состояния одним из соотношений

Е = Е(е,Т), Е = Е(р,Т), Е = Е(р.е).

Система уравнений

с1д

  • (ІІ
  • (ІМ

СІІ

+ ?к:1і^ = 0,

= Р - - V?, О

(1.2.12)

= —— сііуу, 9

/ (р, 0, Т) = 0,

Е = Е(р,Г)

является замкнутой системой, описывающей течения идеальной нетеплопроводной жидкости.

Если выразить из уравнения неразрывности (1.2.1), подставить в (1.2.8), добавить в обе части полученного равенства слагаемое (1 /о)с1р/сИ и ввести в рассмотрение функцию

которая соответствует удельной энтальпии, то вместо уравнения энергии в системе (1.2.12) можем записать уравнение

  • (1.2.14)
  • (1Н 1 dp

dt д dt

При записи уравнения энергии в форме (1.2.14) вместо калорического уравнения состояния (1.2.11) нужно использовать соотношение (1.2.13), записанное в виде

Н(р,д,Т) = Е{р,д,Т) + -. (1.2.15)

9

Следует отметить, что термическое и калорическое уравнения состояния (1.2.10) и (1.2.11) могут оказывать существенное влияние па характер течения жидкости. В некоторых случаях их конкретизация может привести к упрощению постановки задач. Для иллюстрации рассмотрим два примера.

Баротропная жидкость. Если уравнение (1.2.10) не содержит температуры, его можно заменить уравнением

(1.2.16)

в = Ф(2>)

и считать, что плотность жидкости зависит только от давления. Такая жидкость называется баротропной. В противном случае ее называют бароклипной.

В этом случае система уравнений (1.2.12) «расщепляется». Уравнения неразрывности (1.2.1), движения (1.2.7) и состояния (1.2.16) составляют замкнутую систему относительно плотности д, скорости v и давления р. Их можно решать отдельно, не обращая внимания па происходящие в жидкости энергетические процессы.

Однородная несжимаемая жидкость. Если термическое уравнение состояния (1.2.10) имеет вид

Q = бо = const, (1.2.17)

такая жидкость называется несжимаемой.

В этом случае индивидуальная производная dg/dt равна нулю, и уравнение неразрывности (1.2.1) принимает вид

Уравнение Эйлера (1.2.7) сохраняет свой вид, но перед градиентом давления в его правой части присутствует постоянный множитель 1/^о- Соответственно, можем записать

(1.2.19)

Уравнения (1.2.18) и (1.2.19) составляют замкнутую систему относительно скорости V и давления р.

  • [1] Леонард Эйлер (1707-1783) — швейцарский, немецкий и российский математик и механик.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>