МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

Эффективность сложного мероприятия оценивают обычно не по одному, а по нескольким критериям. Соответствующие задачи исследования операций называют многокритериальными. Переход к математической постановке задачи оптимизации и, следовательно, к единственному критерию оптимальности может осуществляться различными способами. Их обычно называют способами свертки критериев.

Наиболее распространен из них следующий. Из всех рассматриваемых критериев выделяют важнейший, по которому и решается задача. На все остальные критерии накладываются только некоторые ограничения. Пусть для определенности имеется пять критериев: И'',, И^2, ..., У5, первые три из которых требуется увеличить, а остальные уменьшить. В качестве важнейшего выбран критерий Н/]. Тогда задача решается с позиций максимума критерия И1, а остальные показатели войдут в число условий функционирования объекта в виде неравенств:

Щ > Щ°; Щ > Щ"; Ж4 < IV"; Щ < IV".

Здесь И^0; IV"; №" — некоторые заданные числовые значения соответствующих показателей. Для их отыскания, а также для выбора важнейшего критерия используют результаты анализа объекта и условий его функционирования.

Другой способ свертки критериев заключается в формировании некоторого обобщенного критерия IV, представляющего собой функцию от частных критериев ?х, W2, ..., И^. Предположим сначала, что все эти частные критерии имеют одинаковые размерности и диапазоны изменения. Тогда обобщенный критерий IV можно записать в виде дроби, числитель которой представляет собой произведение всех частных критериев, которые надо обратить в максимум, а знаменатель — произведение минимизируемых критериев. Отыскивается максимум критерия IV. Так, для предыдущего примера с пятью критериями максимизируемый обобщенный критерий IV имеет вид

IV = IV, IV, IV,/(IV, IV,).

Очевидно, что максимум обобщенного критерия IV будет достигаться при наибольших значениях частных критериев в числителе и наименьших значениях — в знаменателе дроби. Основной недостаток такого подхода заключается в том, что при его использовании может быть достигнуто приемлемое значение обобщенного критерия даже при неудовлетворительных значениях некоторых

частных критериев за счет улучшения других оптимизируемых показателей. Может показаться, например, что низкое качество продукции компенсируется высокой производительностью, если оба эти показателя входят в выражение для обобщенного критерия оптимальности в виде частных критериев.

Более гибким является формирование обобщенного критерия IV в виде взвешенной суммы частных критериев:

IV +2У2

где А,- — вес соответствующего критерия, / = 1, 2, ..., п. Он берется с плюсом, если частный критерий ИА должен обращаться в максимум, или с минусом в случае его минимизации. Ищется максимум обобщенного критерия IV. Абсолютные величины коэффициентов^/ берутся пропорциональными важности соответствующего частного критерия с учетом требования их нормированности:

А.] + А,? + ...+ п — 1.

Чтобы упорядочить критерии по степени их важности и найти соответствующие веса, часто используют экспертные оценки. Примером обобщенного критерия служит рассмотренный выше критерии приведенного дохода.

Заметим, что требование минимума для некоторого критерия ИА всегда можно заменить требованием максимума для противоположной величины (—ИА). Поэтому в дальнейшем без ограничения общности будем считать, что каждый из п критериев У2, ..., ]?п требуется увеличить.

Если частные критерии И' имеют различную размерность, то переходят к безразмерным показателям XV, по формуле

где ИАтах и ИАт1п — соответственно максимальное и минимальное значения критерия ИА. Как видно из этой формулы, безразмерный показатель н>,- изменяется от 0 до 1. Если величина ИАтах или ИАт1п

заранее неизвестна, то ее можно наити, решив задачу оптимизации по единственному критерию ИА. Для обобщенного критерия XV, который формируется как взвешенная сумма показателей н>,, отыскивается максимум:

П

П

IV, - IV:

п

/=

Менее формален по сравнению с рассмотренным способом метод последовательных уступок [4]. Предположим, что частные критерии пронумерованы в порядке убывания их важности. Сначала решается задача оптимизации по первому, самому важному критерию IV, и отыскивается его максимальное значение УХ тах. Далее по результатам проведенного анализа определяют, на какую величину можно отступить от максимального значения В<тах, чтобы за счет этого добиться максимума по второму критерию ?2. Таким образом, второй раз задача решается с позиции максимума критерия У2 при условии Щ > №1тах - ДИф Затем аналогичным образом назначается уступка по второму критерию, за счет чего максимизируется показатель Уг и т.д.

Рассмотрим еще один метод свертки критериев. Основное его достоинство — возможность работать как с количественными, так и с качественными критериями, то есть с такими, значения которых не могут однозначно и исчерпывающе характеризоваться единственным числом. Предварительно решим задачу оценки объекта по совокупности нескольких показателей, в число которых входят только качественные критерии.

Пусть, например, требуется рекомендовать производству один из нескольких имеющихся проектов набора корпусной мебели. При определении лучшего варианта учитывается целый ряд показателей, в том числе и качественные: эстетические требования к внешнему виду изделия; технологичность конструкции; требования функциональности, включающие удобство эксплуатации, вписываемость в интерьер современной квартиры и т.д.

Для перехода к количественной оценке каждому качественному критерию следует сопоставить количественный показатель с!г Условимся, что он может изменяться в пределах от 0 до 1, причем лучшему значению соответствует большее значение с1г В зависимости от предъявляемых требований качественный критерий Щ может принимать два, три или больше значений.

Соответственно этому отрезок [0,1 ] на шкале ^ делится на столько же равных диапазонов. С каждым значением Щ теперь сопоставляется некоторая величина ^/, из соответствующего диапазона. Если, например, критерий Щ принимает три значения, которые можно назвать: «плохо», «удовлетворительно» и «хорошо», то понятию «плохо» будет соответствовать одно из значений 0 < с1 { <0,33; понятию «удовлетворительно» — значения 0,33 < < 0,67; понятию

«хорошо» — 0,67 < с! | < 1. Предположим теперь, что оценка для каждого качественного критерия Щ уже преобразована в значение соответствующего количественного показателя Д. Тогда совокупный показатель Д, обобщающий все частные количественные показатели рекомендуется вычислять по формуле

Д = ^Д с12..Мп . (2.5)

Такое представление обобщенного критерия оптимальности обладает рядом достоинств. Область его значений 0 < Д < 1 совпадает с областью значений каждого из частных критериев Д. Величина Д равна нулю, если хотя бы один из показателей сіі равен нулю, и равна единице только в том случае, если равны единице все частные критерии б/„ / = 1,2, ..., п. Если все показатели сіі принимают одно и то же значение, то это же значение принимает и величина Д. Поэтому область значений обобщенного критерия Д можно разбить на столько же диапазонов и с теми же границами, что и для частных критериев с1г При этом значения показателя Д в каждом диапазоне будут иметь тот же смысл. Вернемся к приведенному ранее примеру.

Допустим, что шесть проектов оценены по трем критериям: IV, — эстетические требования; ?2 технологичность; ИД — функциональность. Каждый критерий может принимать одно из трех значений, в соответствие с которыми приведены диапазоны значений соответствующих количественных показателей (1х,с12 и Д так, как это описано выше. В строках 1...3 табл. 2.1 приведены значения ?/,, присвоенные экспертами каждому проекту по каждому из трех критериев. Каждое из чисел сі'. — результат усреднения мнений всех участников экспертизы (предварительно необходимо убедиться в согласованности их мнений). По формуле (2.5) при п - 3 вычислены значения обобщенного критерия Д для каждого проекта — строка 4, табл. 2.1. Отсюда следует, что лучшую оценку по совокупности трех критериев получил проект № 4: Д = 0,682, оценка «хорошо».

Таблица 2.7

Номер

п/п

Критерий

Проект №

1

2

3

4

5

6

1

д

0,59

0,37

0,34

0,78

0,55

0,57

2

д

0,61

0,32

0,85

0,59

0,62

0,60

3

д

0,78

0,30

0,47

0,69

0,20

0,74

4

д

0,655

0,329

0,514

0,682

0,410

0,632

5

К

1800

1000

1500

2000

1700

1900

6

д

0,338

0,800

0,549

0,200

0,411

0,267

7

д

0,555

0,410

0,522

0,502

0,409

0,510

Рассмотрим теперь более общий случай, когда среди п критериев имеются как качественные, так и количественные. Пусть желательно увеличение количественного критерия IV,. Изменению значений этого критерия во всем диапазоне его варьирования сопоставим, как и в предыдущем случае, изменение величины с/,: О < ^ < 1. Наибольшему значению IV, = IV, тах будет соответствовать

значение с1,: = 1, наименьшему Щ = IV, тт — (7, = 0.

Во многих случаях эффект от изменения показателя пропорционален его увеличению лишь в некоторых пределах, а при выходе за эти пределы величина достигнутого эффекта не изменяется. В этой ситуации связь между показателями (7, и IV, целесообразно задавать функцией, изображенной на рис. 2.3. Однако эта функция имеет изломы в точках IV,- т1П и ЙКтах и, следовательно, недифференцируема в них. Поэтому на практике используют гладкую функцию, изображенную на рис. 2.4. Она называется функцией желательности и описывается уравнением

-(*„+*, ж,.)

Л, = е е . (2.6)

Записав ех в виде ехр(х), получим

4 = ехр[-ехр(-/>0 - Ь{ IV,)].

Преобразуем выражение (2.6) к виду

Ь0 + Ь] Щ = 1п 1п(1 /с7,). (2.7)

Для вычисления коэффициентов Ь0 и 6, в функции желательности выбирают значения (1, для двух произвольных значений критерия IV]: (7п для IVп и (7а для IVа (см. рис. 2.4), которые подставляют поочередно в выражение (2.7). Затем коэффициенты Ь0 и Ьх определяют в результате решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Ь0 + Ьу IV,I = —1п 1п (1 /с7,у

Ь0 + Ь IV,2 = — 1п 1п 11/4-2

Как правило, в качестве значений IVЛ и IV,2 выбирают IV, т1п и И^тах, приводя в соответствие им значения с7п = 0,2 и (7,2 = 0,8.

Рассмотренная функция желательности хорошо соответствует требованию увеличения критерия IV, в диапазоне от IV, тЫ до Щтях, где она возрастает почти линейно, в предположении, что увеличение IV, свыше И^.тах не требуется.

Предпочтительный вид Рис. 2.4. Функция желательности

Рис. 2.3. Предпочтительный вид Рис. 2.4. Функция желательности

зависимости с/, от И/,

Как уже отмечалось, область значений (і;. О < сІі < 1 можно разделить на диапазоны, приводя им в соответствие качественные оценки. При выборе пяти диапазонов их рекомендуемые границы и качественные оценки приведены в первых двух графах табл. 2.2. Такой выбор границ диапазонов объясняется удобством вычислений и требованиями симметрии. Обозначим для краткости в формуле (2.6) (Ь0 + 6, IV) через у. Тогда при у = 0 из этой формулы получаем с/ = е~] ~ 0,37. Симметричная точка на шкале сі: сі = 1 — 0,37 = 0,63 является границей следующего диапазона. В третьей графе табл. 2.2 приведены границы всех пяти диапазонов изменения промежуточного аргумента у функции желательности.

Таблица 2.2

Качественная оценка

Диапазон й

Диапазон у

1

2

3

Очень плохо

0,00...0,20

—оо...—0,476

Плохо

0,20...0,37

—0,476...0

Удовлетворительно

0,37...0,63

0...+0,772

Хорошо

О

ОС

О с

О

0,772...+1,5

Очень хорошо

0,80...1,00

1,5... + 00

Дополним приведенный выше пример рассмотрением еще одного, четвертого, критерия Ж4. Это цена соответствующего набора корпусной мебели. Значения ее для каждого варианта приведены в пятой строке табл. 2.1. Сформируем функцию желательности для этого критерия. Его следует минимизировать, поэтому сопоставим со значением 4тЬ = 1000 величину с14 = 0,8, а со значением И^тах = 2000 величину с14 = 0,2. Система (2.8) примет следующий вид:

bQ +6,1000 = -In In (1/0,8) = 1,5;

b0 + 6,2000 = -In In (1 /0,2) = - 0,476,

откуда 60 = 3,476; 6,= —0,001976.

Искомая функция желательности запишется следующим образом:

d4 = exp [-exp (-3,476 + 0,001976 W4)}.

По этой формуле вычислены значения d4 для каждого из проектов (см. строку 6, табл. 2.1). Рассчитываем значения обобщенного критерия Д' по формуле Д' = yd]d2d3d4 (см. строку 7, табл. 2.1). Как видно, лучшим по совокупности четырех критериев оказался первый проект.

Основное применение функция желательности находит при решении задач многокритериальной оптимизации с количественными критериями. После того, как для каждого из них построена частная функция желательности dt, имеющая вид (2.6), формируют совокупный критерий оптимальности — обобщенную функцию желательности Д по формуле (2.5). Для нее решают однокритериальную задачу оптимизации. Можно показать, что как частная, так и обобщенная функции желательности обладают свойствами, позволяющими использовать их в качестве критериев оптимальности.

Формулу (2.5) для совокупного критерия оптимальности можно обобщить, если принять во внимание веса соответствующих критериев d, (0 < < 1). В этом случае выражение для него примет вид

/ ? 1/х,-

д = [dlhdllXl...d]!Ky={ .

Все рассмотренные методы свертки критериев являются в некоторой степени искусственными и имеют ограниченное применение, поскольку, как уже отмечалось, задача оптимизации с несколькими критериями в принципе не может быть корректно поставлена математически. Для многокритериальных задач в связи с этим более эффективен другой подход, который предполагает специальный анализ множества допустимых решений с целью исключения из рассматриваемого множества возможных вариантов заведомо неудовлетворительных решений.

Предположим, что для данного допустимого решения найдено другое решение, которое лучше предыдущего по каждому из рассматриваемых критериев. Тогда первое решение следует исключить из дальнейшего анализа как неперспективное. Например, в рассмотренном выше примере шестой проект уступает первому по всем критериям и может быть исключен. Оставшееся множество решений называется множеством Парето. Как правило, оно содержит значительно меньше элементов, чем исходное множество допустимых решений. Поэтому исследователь может провести содержательный анализ их и выбрать лучшее решение, исходя из дополнительных неформальных требований. Эффективные методы построения множества Парето, разработанные к настоящему времени, достаточно сложны.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >