УРАВНЕНИЕ УДАРНОЙ АДИАБАТЫ

Допустим, что в некотором сечении АВ сверхзвукового потока газа образовался прямой скачок уплотнения (рис. 10.8). В действительности параметры потока изменяются не скачкообразно, а на длине порядка пути свободного пробега молекул, которая в газодинамических расчетах принимается равной нулю. Выделим двумя плоскостями 1 и 2 отсек газа, включающий поверхность разрыва.

1 2

Рис. 10.8

Для нахождения зависимости между параметрами потока за скачком (р₂, рг, Т₂, и₂) и перед ним (р, р1, Т, щ) воспользуемся общими уравнениями: неразрывности, изменения количества движения, энергии (Бернулли) и состояния. Для одномерного установившегося движения идеальной жидкости в случае отсутствия массовых сил эти уравнения представим соответственно в виде

р₁«₁5 = р₂«₂5;

• (10.52)
• (10.53)

Найдем связь между давлениями и плотностями до и за скачком уплотнения, ИСКЛЮЧИВ ИЗ рассмотрения скорости И, и₂. Для этого, учитывая (10.52), перепишем уравнение (10.53) в виде

(10.57) (10.57) с

и

и

I. Н--

¹ 2

~¹2 ⁺

• (10.54)
• (10.55)

Р г-Р=^К^2^Т2-^^Т)-

Таким образом, составлена система четырех уравнений (10.52)-(10.55) с четырьмя неизвестными Ы₂,р₂, Р2, Т₂.

Последние два уравнения заменяются уравнением (10.15):

и

+

Р _и₂

к-1

+

к Р

к-1 р

(10.56)

РЩ^2-Щ) = Р-Р2-

Перемножим левую и правую части уравнения соответствующими частями следующего тождества:

и₂ + Щ и₂

1

+ — =

• 1 1
• — + —

РЩ РЩ Рі Р2

Р1

(10.58)

Здесь из уравнения (10.52) =

РЩ Р2

получим

• 1 1
• - ^и ~ [р - Р2
• (10.59)

Р1 Р2.

Используя уравнение Бернулли (энергии) (10.56), исключим разность квадратов скоростей

и

і«2 - I-

2 к

г

к-1

К-?1 Рі Р2

Получим

2 к

ґ

к-1

К-Р2

Рі Р2

1 1

= {Р-Р2}— +

(10.60)

/

Рі Р2

У

Последнее соотношение можно представить в следующем виде:

Р2 _ (* + 1)р2/р1 - (* - О ЛОАП

_л-(*₊1)-(*-1)р₂/рГ ^(Шб1)

Уравнение (10.61) представляет собой адиабату, которую называют ударной или адиабатой Гюгонио. Связь между давлением и

плотностью в адиабатическом движении идеального газа определяется адиабатой Пуассона (изоэнтропической адиабатой):

92

чР1 У

Е2_ =

Р

(10.62)

На графиках (рис. 10.9) представлены кривые идеальной адиабаты Пуассона 1 и ударной адиабаты 2.

Рг/рх

• 15
• 10

2 3 4

Рис. 10.9

0

Ударная адиабата имеет асимптоту — = {к + !)/(*-!). так как

Р1

при этом отношение давлений согласно (10.61) обращается в бесконечность. Это означает, что как бы ни было велико сжатие — газа в

Р

ударной волне, созданное ею уплотнение газа — не может превзои-

Р.

ти предела {к+)/(к- 1) (для воздуха равного 6).

Уравнение разности энтропий за скачком и перед ним представим в следующем виде (см. § 10.1):

*2-*,=

к - 1

1п

Г

Р2_

к

V Рг 7

— 1п

/ Л

Р]_

к

^Р1 )

Я

1п

к - 1

Р2

Р

Г

Р1

^Р2 )

(10.63)

Отсюда следует, что при прохождении газа через скачок уплотнения энтропия возрастает (52 —S >l). При изменении параметров

газа по идеальной адиабате s = const. Таким образом, движение газа через скачок уплотнения, будучи адиабатическим, не является изоэнтропическим, так как сопровождается необратимым преобразованием механической энергии в тепловую.

энтропия должна бы убывать з₂ ^-^1 <0. Однако это противоречит

второму закону термодинамики и позволяет сделать вывод, что образование скачков разрежения невозможно.