УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ АДИАБАТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ГАЗЕ

Уравнение Бернулли для струйки идеальной сжимаемой жидкости в случае отсутствия массовых сил (Ф=0) имеет вид (см. § 4.5).

= const >

(10.13)

где Р(х, у, г) - функция давления (с1Р = — ).

Р

Состояние жидкости (газа) называется баротропным, если плотность зависит только от давления р=р(р).

Для адиабатического движения газа уравнение процесса пред-

+ сопб! . (10.15)

и

г

ставим в виде р = р0

V

_Р_

Ро л

У

, тогда для функции давления получим

dp р" р~чР=р"

к-1

р=р:=

Р Ро

Р

к -J^P

(10.14)

Ро к — к-1 р

Внося выражение (10.14) в (10.13), получим уравнение Бернулли для адиабатического течения идеального газа.

2 к -1 р

Уравнение Бернулли (10.15) широко используется и в других

формах. Заменив в нем — по уравнению состояния на ЯТ, получим

Р

и

+

RT - const.

  • (10.16)
  • 2 к-1

Из уравнения (10.16) следует, что при увеличении скорости газового потока температура убывает и наоборот. Такой характер изменения температуры обусловлен теплоизолированностью процесса движения газа. Учитывая выражение для энтальпии

к

/ = с Т =-ЯТ, представим уравнение (10.16) в следующей фор-

р к-1

ме:

и1

/ + — = const. (10.17)

Уравнение (10.17), полученное из общего закона сохранения и превращения энергии (10.2), справедливо и для течения вязкого газа при отсутствии теплообмена с внешней средой. При течении вязкого газа часть механической энергии, вследствие действия сил внутреннего трения, превращается в тепло. Это приводит к увеличению

тт2

внутренней энергии газа и, однако сумма / + — = const.

Особая роль в газодинамических исследованиях принадлежит скорости распространения в газе малых механических возмущений (сжатий и разрежений), которая определяется следующей формулой:

2 Ф

dp

а —

Лр у dp

Из физики известно, что звуковые (акустические) волны представляют собой малые сжатия и разрежения упругой среды. В связи

с этим величину а =

dp

dp

называют также скоростью распростране-

ния звука. Для движущегося потока под величиной а следует понимать местную скорость распространения звука, т. е. скорость звука относительно скорости движения газа в данной точке потока. Скорость звука согласно (10.18) зависит от характера процесса. Для несжимаемой жидкости р=сош1, анесж=со. Принимая процесс распространения изотермическим, получим предложенную Ньютоном формулу

р=Ср;

± = Г=Р.

dp Р ’

а

тот

В действительности распространение малых возмущений (сжатий и разрежений) в газе происходит настолько быстро, что теплообмен не успевает осуществляться. Последнее позволяет считать процесс распространения малых возмущений адиабатным:

р - Ср^,С = const ; — - кСр^~^ = — ;

Ф Р

(10.19)

а' = Jk— = yjkRT .

Предложенная Лапласом формула (10.19) полностью подтверждается экспериментально, поэтому под скоростью распространения малых возмущений в дальнейшем будет всегда подразумеваться адиабатическая скорость звука (формула (10.19)). Скорость распространения звука в совершенном (идеальном) газе согласно (10.14) зависит лишь от абсолютной температуры и физических свойств газа, но совершенно не зависит от условий движения. Выражая ЯТ из (10.19) и подставляя его значение в (10.16), получим еще одну форму

уравнения Бернулли

и

+

а

к-1

  • - соїШ .
  • (10.20)

Из уравнения (10.20) следует, что при возрастании скорости адиабатического газа местная скорость звука в нем убывает, а при торможении - возрастает. Разумеется, что зависимость скорости звука от скорости движения газа есть лишь результат изменения температуры газа при изменении скорости течения.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >