ЦИРКУЛЯЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА. ТЕОРЕМА Н.Е. ЖУКОВСКОГО

Суперпозицией бесциркуляционного потока и одиночного плоского вихря идеальной жидкости можно получить циркуляционное

обтекание, которое наблюдается при вращении цилиндра в потоке вязкой жидкости. Функция тока и потенциал скорости такого течения имеют вид

Г

г

|/ = и о (1 — —^т~)г 8ш 0 ч——— 1п г;

  • = и0( 1 + -^-)г СОБ0 -
  • 2 71

Г

  • (8.43)
  • 2/г
  • 0.

Зная V)/ и ф, определяем поле скоростей:

дер 1 5|/

У

и.. = — = = и0(- соб 0;

Г

дг г 50

(8.44)

г

  • 2
  • 1 д(р 5ц/ V . Г

ме =—— = —— = -Мо(1 + -Цг)81П0-

  • й)
  • • — —им 11--:

г 50 дг

2 ЯГ

На поверхности цилиндра имеем

"Нг=щ =°’ивг^ = -2и„втв-

Г

>0 " 2лт0

(8.45)

Выясним наличие критических точек и их положение, для чего примем М =0, получим

г

Бт©.., =--. (8.46)

р

Из формулы (8.46) видно, что возможно следующее расположение критических точек:

  • 1) при Г=0 имеет место бесциркуляционное обтекание
  • 0кр.1=О; 0кр.2=л (см. § 8.3);
  • 2) при Г<4тшоН) на поверхности цилиндра имеются две критические точки К1 и К2 (рис. 8.8, а);
  • 3) при Г=47Шо?о в этом случае 8т0крл=-1, 0крл=3/2л, на поверхности цилиндра имеется одна критическая точка К (рис. 8.8, б);
  • 4) при Г>4жщго на поверхности цилиндра нет критических точек, так как 8т0кр не может быть >1 (рис. 8.8, в);

Используя уравнение Бернулли и принимая во внимание соотношение (8.45), получим следующее выражение для безразмерного давления:

р = 1 -(2вт0 + Г )2 = 1 - 4(бш 9 + Г ) . (8.47)

27ш0г0 4/ш0г0

а)

Линии тока и распределение давления во всех рассмотренных случаях (см. рис. 8.8) симметричны относительно оси у, но не симметричны относительно оси х. Последнее обусловливает существование не равной нулю проекции силы давления на ось у (РУФ0). Величину этой силы на единицу длины цилиндра (г=1) найдем интегрированием по окружности силы давления, приходящейся на элемент дуги (<7/=гО8т0):

или

  • 2 к
  • - |/?Го8Ш0<70, о

Рис. 8.8

Ру

I

о

  • 1 - (2 8Н10 + ———)2
  • 2?Шд/д
  • 8Н10<70
  • (8.48)

Вычисление интеграла дает

Р

У _

I

= рг/0Г

или

(8.49)

У=рг/оГ.

Используя теорему об изменении количества движения, можно показать, что формула (8.49) справедлива и для тела произвольной формы. Она выражает теорему Н. Е. Жуковского о подъемной силе (1904 г.): при обтекании цилиндрического тела произвольного профиля плоским потенциальным потоком с циркуляцией на тело действует подъемная сила нормальная скорости на бесконечности щ и равная произведению последней на циркуляцию Г и плотность потока р. Чтобы получить направление силы Жуковского, следует вектор скорости щ повернуть на угол 90° в сторону, противоположную циркуляции Г (в рассмотренном случае Г направлена по часовой стрелке).

Теорема Жуковского сыграла выдающуюся роль в развитии теории крыла, а также теории гребных винтов кораблей и гидромашин. Она явилась теоретической основой летательных аппаратов, так как вскрывает причину появления подъемной силы - вихри, мерой интенсивности которых служит циркуляция скорости. В реальной жидкости вихри (циркуляция) порождаются действием сил вязкостного трения, которые развиваются и проявляются в пограничном слое.

Однако теорема Жуковского не решает полностью вопроса о теоретическом определении величины подъемной силы, так как не дает ответа на вопрос, как определить значение циркуляции Г. Академик С. А. Чаплыгин совместно с Н.Е. Жуковским сформулировали постулат, дающий ответ на поставленный вопрос.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >