ПРОСТЕЙШИЕ ПЛОСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Рис. 8.2

Рассмотрим наиболее характерные примеры простейших плоских установившихся потенциальных потоков, суперпозицией которых можно получить сложные практически важные потоки.

Прямолинейный равномерный поток (рис. 8.2). Жидкость движется одинаково во всем потоке со скоростью й = их1 +«,,./ ; их=а, иу=Ь.

Найдем уравнения линий тока

с1х (1у их иу

или

  • (8.9)
  • (Ьу=ихсЬу - иус/х =0,

Ь г

у = —х + С

а

или

!=ау - /тх^сопбР (8.10)

Линии тока представляют собой семейство параллельных прямых, наклоненных под углом а к оси х:

(8.11)

иу Ъ

их а

Выражение для потенциала скорости будет иметь вид

с1(р=ихсЬс + игс!у=0; ф=ях + 6у=соп81. (8.12)

Если поток движется параллельно оси х у=0), то функции ф и ц/ представляются следующим образом:

1=ау + С, ф=ах + С. (8.13)

Источник и сток. Пусть жидкость непрерывно возникает в точке О и вытекает в неограниченное пространство с постоянным расходом <2 и одинаковой интенсивностью по всем направлениям. Линии тока этого воображаемого потока (источника) представляют собой пучок прямых, расходящихся из точки О. Если жидкость притекает из неограниченного пространства в точку, где непрерывно исчезает, то течение называется пространственным стоком. В случае, когда такие течения происходят в одной плоскости, имеем плоские источник и сток (рис. 8.3).

Рассмотрим плоский источник. Уравнение неразрывности -уравнение постоянства расхода через любую концентрическую цилиндрическую поверхность, имеющую высоту равную единице (2=1), будет иметь вид (с11=гс1$ )

д=иг2пг=соп$1; (8.14)

2 к

д = |г/г/т/0 . о

Выразим из уравнения (8.14) скорость иг

(8.15)

и.. =

Ч Ч

'^ПГ 2 7Тл]х2 + у2

Т. и,. иг х

Так как — = —, ихг~, то

г х г

их =

д(р

дх

х

= и,,- =

цх

у 2л(х2 + у2)

(8.16)

Аналогично

д(р

ЧУ

} ду 2лх2 + у‘

Полный дифференциал потенциала скорости будет иметь вид

, 1 1 Ч (хс/х + ус/у)

а(р = ыхах + и Оу =-----—;

2к (х22)

интегрируя выражение (8.18), получим

  • (8.17)
  • (8.18)
  • (8.19)

ер - — 1п(х2 + у2)+ С = — 1пг + С . 4тг 4

При г= 1, С=0 получим

Ч

Со = —-— ІП Г . 2л

(8.20)

Определим функцию тока. Так как с1>=ихс1у- щс/х, то

q (хс/у - ус!х)

с1|/ =

  • 2л (х22)
  • (8.21)

Интегрируя, получим

Ч У ^

|/ = — аіт^— + С.

  • х
  • (8.22)

У

Так как — = tg0 и, полагая, что при у=0, |/=0, С=0, получим х

  • ?=^е.
  • 2 л
  • (8.23)

Очевидно, линии тока (|/=соп81 или у/х=соп81) представляют со-

оои прямые, проходящие через начало координат, а эквипотенциали (ф=соіШ или х2 + у2=сош1) - окружности.

Диполь. Диполем или дублетом называется комбинация источника мощности q и стока мощности помещенных на бесконечно малом расстоянии (рис. 8.4). Потенциал диполя получим, используя метод суперпозиции:

  • 4> = <рист + ?’ст =4-К -1пг2).
  • 2 л
  • (8.24)

Для произвольной точки А(х, у) имеем

Г =Дх-е)22; г2 =л/(х + 8)22.

Тогда

уіу2 + (х — Є )

  • 4 пу2+(х~^
  • (8.25)

^71 у/у2 + (х + е)22+(* + е)2

Если сближать источник и сток (е—>0), то при 8=0 сток поглотит источник и течение прекратится. Обозначим

Дх,у) = Нхг + у1), (8.26)

тогда

/(х - 8, у) - /(х + 8, у)

<Р =

  • (8.27)
  • 4л- 2е

Переходя к пределу при 8—>0, предположим, что мощности источника и стока неограниченно возрастают так, что в пределе 2

стремится к некоторой конечной величине М, называемой моментом диполя. Ось х, на которой расположены источник и сток, называется осью диполя. Выражение (8.27) в пределе имеет вид

Мд/ М х Мх МсобО

<Р =

  • 4к дх 2/г х2 + у2 2кг
  • 2 т*
  • (8.28)

Здесь M=2qz;

V

дх

  • 2 2 х+У

Момент диполя изображается в виде вектора, направленного от стока к источнику.

Функция тока в этом предельном случае будет иметь следующий вид (не повторяя рассуждений, выпишем окончательный результат):

Му М sin 0

V =

  • (8.29)
  • 2т* 2 п г

Это абстрактное теоретическое течение имеет важную роль в методах построения потоков, близких к действительным.

Вычислим компоненты скорости:

М у2-X2

М

2ху

_ . ., ыу---~" - . (8.30)

2/г (х2 + у2)2 ' 2/г (х2 + у2)2

Эквипотенциальные линии и линии тока диполя представляют собой семейство окружностей касающихся осей х и у в начале координат. Жидкость вытекает из начала координат в сторону отрицательной оси х и, описав окружность, снова втекает в начало координат.

Плоский (потенциальный) вихрь. Рассмотрим плоское течение, обусловливаемое одиночным вихревым шнуром, ось которого перпендикулярна плоскости течения (совпадает с осью г). Движение частиц будет происходить по круговым траекториям (линиям тока) без вращения, то есть поступательно (см. рис. 8.5). В этом случае расход q численно равен

циркуляции Г = §йсЛ (см. § 3.10), а дви-

их =

Y(/=COnSt

(p=const

Рис. 8.5

жение называется циркуляционным. Таким образом, независимо от радиуса круга циркуляция Г будет постоянной (и,.=0).

Г=2лгщ.

Если сЛ=гс1в - элемент окружности, то

(8.31)

д(р 1 д(р Г

  • 11а =-=--=-.
  • 81 г 50 2яг

(8.32)

Скорость убывает обратно пропорционально расстоянию от центра. Тогда из (8.32) следует

8(р _ Г . д(Р _ о . дв 2п’ дг

с1(р=д(Р с1г+0(р с!<Э= Г 0. дг 50 2к

(8.33)

Потенциал скорости циркуляционного течения постоянной равен

С точностью до

  • (р= г 0.
  • 2 п

Функция тока будет иметь следующий вид:

(8.34)

Я

II

>

(8.35)

Линии тока ()/=соп81) являются концентрическими окружностями с центром в начале координат, а эквипотенциали (ф=соп81) - прямыми, выходящими из той же точки. Потенциальность данного течения нарушается в особой точке /"=0.

В заключение отметим, что любая часть потенциального потока может быть заменена твердой границей, очертание которой совпадает с линией тока, не вызывая изменений характеристик потока вне этой границы.

Примем одну из линий тока, например окружность радиуса г=г0, за твердую границу, что не нарушит характера потока. Будем рассматривать течение жидкости вне этой окружности. Тогда получим чисто циркуляционное обтекание бесконечно длинного (в направлении оси г) круглого цилиндра радиуса г0. Скорость и=щ в любой точке вне цилиндра равна

Г Г

и0 ~ ~ ’ ^Отах " .

2 ЯГ 2лгп

БЕСЦИРКУЛЯЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА. ПАРАДОКС Д’АЛАМБЕРА-ЭЙЛЕРА

Пусть цилиндр обтекается безграничным прямолинейным потоком идеальной жидкости (рис. 8.6). Используя принцип суперпозиции найдем результат наложения прямолинейного потока со скоростью щ, направленной вдоль оси х, на диполь с моментом М:

Му М 1

V = 11 о У

= У(и о -

2тг (х2 + у2)

) = С • (8.36)

2пг

Рис. 8.6

Таким образом, конфигурация линий тока определится уравнением )/=С.

Выясним, какая линия тока соответствует значению С=0 (у=0). Из (8.36) следует, что уравнение этой линии распадается на два:

  • 1Ц=0; 2) х22 =уУ~.
  • ?71110

Так как для идеальной жидкости ип = 0, то можно окружность

радиуса г0 (линию тока у=0) заменить твердой поверхностью. Тогда, игнорируя течение внутри окружности, получим обтекание круглого цилиндра радиуса г0 потенциальным потоком с постоянной скоростью щ вдали от цилиндра. Исключая из рассмотрения момент диполя М=2/кщГ()2, получим

о

у = ы0у( 1---

х +у

т) = и0(1-*)гьтв .

Аналогично для потенциала скорости

  • 2 2
  • (8.37)
  • = м0х(1 + ——-) = и0 (1 + —^т-)гСО80 ; X +у г

иг=~~ = ио О “ ^-)СО80;

г (30

(8.38)

Г° )8ІП0.

1 д(р

ид =~^ = ~ио(1+ 2 г дв г

На поверхности цилиндра

и

= 0

г=/-0

  • - -2и0 8ІП 0.
  • (8.39)

Знак минус указывает, что скорость щ направлена против направления отсчета координатного угла 0.

Из (8.39) видно, что на поверхности цилиндра существуют две критические точки: 1) К (0=л); 2) /С2(0=О), где скорость ме=0. А при

Іітах

0=±л/2 она достигает

максимального значения

(8.38) следует, что при г—к» и—>г/о, которую называют скоростью невозмущенного потока или скоростью в бесконечности.

Закон распределения давления по поверхности цилиндра найдем, используя уравнение Бернулли, записанное для точек, находящихся на поверхности и вдали от цилиндра, в виде (см. § 4.5)

Ро +

Р»0

2

(8.40)

где р и и• — давление и скорость на поверхности цилиндра. Введем коэффициент давления р , определяемый соотношением

Р~Р 0

(8.41)

Принимая во внимание (8.39) и (8.41), из уравнения Бернулли получим

= 1 — 4 8Іп2 0.

(8.42)

Анализ результатов расчетов по формуле (8.42) (кривая 1) и экспериментальных исследований (кривая 2) по обтеканию цилиндра реальной жидкостью, представленных на рис. 8.7 показывает, что для 0<6<л/2 (тыльной части цилиндра) кривые резко расходятся. Последнее связано с тем, что при обтекании цилиндра вязкой жидкостью за тыльной стороной образуется вихревая зона, где р <0.

Рис. 8.7

Причиной возникновения вихревой зоны является вязкость, действие которой проявляется в тонком пограничном слое.

При обтекании цилиндра идеальной жидкостью без срыва потока и образования циркуляции конфигурация линий тока и распределение давления по поверхности симметричны (ибо р зависит от

битВ). Из последнего следует, что результирующая сила давления потока на цилиндр равна нулю ХУ=0). Это означает, что в условиях неразрывного потенциального течения идеальной жидкости сопротивление тела равно нулю (парадокс Д'Аламбера-Эйлера). Оказывается, что полученный результат для цилиндра верен для всех конечных тел, обтекаемых пространственным потенциальным потоком.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >